Question

【題目】已知：如圖，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連結(jié)DF，交BE的延長線于點G，連結(jié)OG．

(1)求證：△BCE≌△DCF：

(2)OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論；

(3)若GEGB=4-2，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）OG=BF．證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定方法尋找條件．

（2）因為O是BD的中點，結(jié)合已知條件，知道證明G是DF中點即可．

（3）要求正方形的面積，求出邊長的平方即可，為此要找到一個關(guān)于邊長的方程，因為已知中有直角，根據(jù)勾股定理，結(jié)合已知條件，列出方程，求出答案．

試題解析：（1）在△BCE與△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF．

（2）OG=BF．

理由如下：∵△BCE≌△DCF，

∴∠CEB=∠F，

∵∠CEB=∠DEG，

∴∠F=∠DEG，

∵∠F+∠GDE=90°，

∴∠DEG+∠GDE=90°，

∴BG⊥DF，

∴∠BGD=∠BGF，

又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，

∴△BGD≌△BGF，

∴DG=GF，

∵O為正方形ABCD的中心，

∴DO=OB，

∴OG是△DBF的中位線，

∴OG=BF．

（3）設(shè)BC=x，則DC=x，BD=x，

由（2）知，△BGF≌△BGD，

∴BF=BD，

∴CF=（-1）x，

∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，

∴△GDB∽△GED，

∴，

∴GD2=GEGB=4-2，

∵DC2+CF2=（2GD）2，

∴x2+（-1）2x2=4（4-2），

（4-2）x2=4（4-2），

x2=4，正方形ABCD的面積是4個平方單位．

∴S△DBG=S△BDF=××x2=個平方單位．