Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數的圖像經過原點及點A（1,2），與x軸相交于另一點B(3,0)，將點B向右平移3個單位得點C．
（1）求二次函數的解析式；
(2)點M在線段OC上，平面內有一點Q，使得四邊形ABMQ為菱形，求點M坐標；
（3）點P在線段OC上，從O點出發向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于D點，以PD為邊在PD的右側作正方形PDEF（當P點運動時，點D、點E、點F也隨之運動）；
①當點E在二次函數的圖像上時，求OP的長；
②若點P從O點出發向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，若P點運動t秒時，直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，直接寫出此刻t的值．

Answer 1

（1）y=-x²+3x；（2）（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；（3）或.

解析試題分析：（1）可設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，利用二次函數的圖象經過原點及點A（1，2），B（3，0），分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）分M是AB的垂直平分線與x軸的交點；M在B點左邊并且BM=AB；M在B點右邊并且BM=AB；三種情況討論可得點M坐標；
（3）①過A點作AH⊥x軸于H點，根據DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；
②分兩種情況討論，求出t的值即可．
試題解析：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
∵二次函數的圖象經過原點及點A（1，2），B（3，0），
∴，
解得．
故二次函數解析式為：y=-x²+3x；
（2）M是AB的垂直平分線與x軸的交點，點M坐標是（1，0）；
M在B點左邊并且BM=AB，點M坐標是（3-2，0）；
M在B點右邊并且BM=AB，點M坐標是（3+2，0）；
故點M坐標為（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；
（3）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點作AH⊥x軸于H點，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴，
即，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=；
即OP=．
②直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，此刻t的值為：或.
考點：二次函數綜合題．