Question

【題目】如圖，正方形中，，點是正方形所在平面內(nèi)一動點，滿足．

（1）當點在直線上方且時，求證：；

（2）若，求點到直線的距離；

（3）記，在點運動過程中，是否存在最大值或最小值？若存在，求出其值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）當時，最小值為．當點在直線下方時，有最大值

【解析】

（1）利用勾股定理的逆定理證明△ADQ是等腰直角三角形即可解決問題．
（2）如圖2中，由題意點Q是以D為圓心，DQ為半徑的圓和以BD為直徑的圓的交點（有兩種情形，圖中Q，Q′）．連接BQ，BQ′，過點A作AH⊥BQ于H，過點A作AH′⊥BQ′于H，AH′交BQ于J．解直角三角形求出AH，BH即可解決問題．
（3）如圖3-1中，當AQ＜BQ時，過點A作QJ⊥AB交BA的延長線于J．AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=-AB（2JA+AB）=（2JA+），觀察圖象可知，當JA的值最大時，AQ2-BQ2的值最小，此時點Q在CD的延長線上．如圖3-2中，當QA＞QB時，過點A作QJ⊥AB交BA的延長線于J．AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=AB（AJ-BJ），觀察圖象可知，當JA-JB的值最大時，AQ2-BQ2的值最大，此時點Q在線段CD上．

解：（1）證明：如圖1中，

∵AQ=DQ=1，AD=，
∴AQ2+DQ2=AD2，
∴∠Q=90°，
∴∠QAD=∠ADQ=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADB=∠QAD，
∴AQ∥BD．
（2）解：如圖2中，由題意點Q是以D為圓心，DQ為半徑的圓和以BD為直徑的圓的交點（有兩種情形，圖中Q，Q′）．

連接BQ，BQ′，過點A作AH⊥BQ于H，過點A作AH′⊥BQ′于H，AH′交BQ于J．
∵BD=AD=2，QD=1，
∴BQ=2DQ，
∴∠QBD=30°，同法可得∠DBQ′=30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠ABQ=∠CBQ′=15°，
∴∠ABH′=75°，∠BAJ=15°，
∴∠JAB=∠JBA=15°，
∴∠AJH=∠JAB+∠JBA=30°，

設AH=a，則AJ=JB=2AH=2a，JH=，
在Rt△ABH中，則有2=a2+（2a+）2，
解得a=，
∴AH=，BH=，
∵∠AHB=∠AH′B=90°，∠ABH=∠BAH′，AB=BA，
∴△AHB≌△BH′A（AAS），
∴AH′=BH=，
∴點A到直線BQ的距離為或．
（3）解：如圖3-1中，當AQ＜BQ時，過點A作QJ⊥AB交BA的延長線于J．

∵AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=-AB（2JA+AB）=（2JA+），
觀察圖象可知，當JA的值最大時，AQ2-BQ2的值最小，此時點Q在CD的延長線上，

最小值=（2+）=．
如圖3-2中，當QA＞QB時，過點A作QJ⊥AB交BA的延長線于J．

∵AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=AB（AJ-BJ），
觀察圖象可知，當JA-JB的值最大時，AQ2-BQ2的值最大，此時點Q在線段CD上，

最大值=（1-+1）=2-2．