Question

【題目】如圖，O為原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，連結CD，某拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點D、點E（1，1）．

（1）若該拋物線過原點O，則a= ；

（2）若點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，要使得符合條件的Q點的個數是4個，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1）﹣（2）a＜﹣或a＞

【解析】

試題分析：（1）過點D作DF⊥x軸于點F，先通過三角形全等求得D的坐標，把D、E的坐標和c=0代入y=ax2+bx+c，根據待定系數法即可求得；

（2）若符合條件的Q點的個數是4個，則當a＜0時，拋物線交于y軸的負半軸，當a＞0時，拋物線與直線OQ：y=﹣x有兩個交點，得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x，根據根與系數的關系得出不等式，解不等式即可求得．

解：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標是（3，1），

把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，

得，

解得a=﹣，

故答案為﹣；

（2）如圖2，∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數是4個，則點Q在x軸的上、下方各有兩個．

（i）當點Q在x軸的下方時，直線OQ與拋物線有兩個交點，滿足條件的Q有2個；

（ii）當點Q在x軸的上方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點在y軸的負半軸，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；

②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時，點Q在x軸的上、下方各有兩個，

（i）當點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q有兩個；

（ii）當點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q才兩個．

根據（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此時直線OQ的斜率為﹣，則直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個不相等的實數根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）

綜上所示，a的取值范圍為a＜﹣或a＞．

故答案為a＜﹣或a＞．