Question

【題目】如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點（其中P、Q不與端點重合），點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，下列結論：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度數始終等于60°；（4）當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．其中正確的結論有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

【答案】 C

【解析】

試題分析：易證△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易證∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根據t的值易求BP，BQ的長，即可求得PQ的長，即可解題． ∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°， 根據題意得：AP=BQ， 在△ABQ和△CAP中，

， ∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正確； ∴∠AQB=∠CPA，

∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°， ∴∠AMP=∠B=60°，

∴∠QMC=60°，（3）正確； ∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°， ∴∠CQM≠60°， ∴CQ≠CM，

∵BP=CQ， ∴CM≠BP，（1）錯誤； 當t=時，BQ=，BP=4﹣=，

∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BPBQcos60°， ∴PQ=， ∴△PBQ為直角三角形，

同理t=時，△PBQ為直角三角形仍然成立，（4）正確；