Question

24、按下面規則擴充新數：已有兩數a、b，可按規則c=ab+a+b擴充一個新數，在a、b、c三個數中任取兩數，按規則又可擴充一個新數，…每擴充一個新數叫做一次操作．現有數1和4．
（1）求按上述規則操作三次得到擴充的最大新數；
（2）能否通過上述規則擴充得到新數1999，并說明理由．

Answer 1

分析：仔細閱讀擴充新數規則：已有兩數a、b，可按規則c=ab+a+b擴充一個新數，在a、b、c三個數中任取兩數，按規則又可擴充一個新數，…每擴充一個新數叫做一次操作．根據此規則運算即可．
（1）起始數是1和4
原數           產生新數            應取數
第一次擴充            1、4         1×4+1+4=9            4、9
第二次擴充            4、9         4×9+4+9=49           9、49
第三次擴充            9、49        9×49+9+49=499        49、499
（2）首先通過一般歸納得出，新數c用a、b表示的一般式子c+1=（a+1）^m•（b+1）^m+1．
進一步驗證新數1999能否表示成2^m×5^m+1的形式，其中m取自然數．

解答：解：（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因為要求最大新數，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三數取9和49，就得到擴充三次的最大數為499．
（2）因c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，故c+1=（a+1）（b+1），
取數b、c可得新數d=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）（b+1）²-1，即d+1=（a+1）（b+1）²，
同理可得e=（c+1）（d+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）²-1，e+1=（a+1）²（b+1）³
第四次擴充：49×499+49+499=24999＞1999，
即第三次得到的新數為499，第四次得到的新數為24999，
故1999不可以通過上述規則擴充得到．

點評：做好本類題目的關鍵是要根據表達式與文字規則，弄清給定數值字符間蘊含的加減乘除運算關系．如本題中的按照規則c=ab+a+b，在a、b、c三個數中任取兩數，按規則又可擴充一個新數，…每擴充一個新數叫做一次操作．