Question

已知拋物線上有不同的兩點(diǎn)E和F．

（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過點(diǎn)F．

Answer 1

（1）
（2）（m＞0）
（3）當(dāng)　　或時(shí)，∠PMQ的邊過點(diǎn)F

解析解：（1）拋物線的對稱軸為．　……..（1分）
∵　拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)E和F的縱坐標(biāo)相同，
∴　點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則　，且k≠－2．
∴　拋物線的解析式為．　　　　　　　　　　　　……..（2分）
（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），
∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分）
在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴　∠BCM＝∠AMD．
故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分）
∴　，即　，．
故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分）
（3）∵　F在上，
　　 ∴　，
　　化簡得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　
　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分）
　　①M(fèi)F過M（2，2）和F1（－2，0），設(shè)MF為，
　　則　　　解得，　∴　直線MF的解析式為．
　　直線MF與x軸交點(diǎn)為（－2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，1）．
　　若MP過點(diǎn)F（－2，0），則n＝4－1＝3，m＝；
　　若MQ過點(diǎn)F（－2，0），則m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分）
　　②MF過M（2，2）和F1（－4，－8），設(shè)MF為，
　　則　　解得，　∴　直線MF的解析式為．
　　直線MF與x軸交點(diǎn)為（，0），與y軸交點(diǎn)為（0，）．
　　若MP過點(diǎn)F（－4，－8），則n＝4－（）＝，m＝；
　　若MQ過點(diǎn)F（－4，－8），則m＝4－＝，n＝．　　……..（8分）
　故當(dāng)　　或時(shí)，∠PMQ的邊過點(diǎn)F．