Question

【題目】已知：a、b、c滿足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，請回答問題:

（1）請求出a、b、c的值；

（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C，P為數軸上一動點，其對應的數為x，若點P在線段BC上時，請化簡式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（請寫出化簡過程）；

（3）若點P從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向右運動，試探究當點P運動多少秒時，PC=3PB?

Answer 1

【答案】（1）a=-1, b=1,c=4；（2）-2x+10；（3）或秒

【解析】試題分析：

(1) 利用“若幾個非負數之和為零則每一個非負數均為零”這一結論，可以得到a與c的值. 利用已知條件容易得到b的值.

(2) 根據“點P在線段BC上”可以得到x的取值范圍. 根據x的取值范圍，可以依次確定待化簡式子中絕對值符號內的整式值的符號，再根據絕對值的代數意義去掉相應的絕對值符號，然后合并同類項即可得出答案.

(3) 設點P的運動時間為t秒. 分析題意可知，要想得到符合題意的運動時間，就需要獲得線段PC與線段PB的長關于運動時間t的表達式. 對于線段PC的表達式，可以通過PC=AC-AP的關系得到. 線段AC的長易知；由于點P從點A出發沿直線向右運動，所以線段AP的長代表了點P的運動路程. 根據“路程等于速度乘以時間”這一等量關系，可以用t表示出線段AP的長. 對于線段PB的表達式，則需要按照點P與點B的相對位置進行討論. 當點P在點B的左側時，可根據PB=AB-AP獲得線段PB的表達式；當點P在點B的右側時，可根據PB=AP-AB獲得線段PB的表達式. 在獲得上述表達式后，利用等量關系PC=3PB列出方程求解時間t即可.

試題解析：

(1) 因為，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4.

因為a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1.

綜上所述，a=-1，b=1，c=4.

(2) 因為點P在線段BC上，b=1，c=4，所以.

因為，所以x+1>0， ， .

當x+1>0時， ；

當時， ；

當時， .

因此，當點P在線段BC上(即)時，

=

=

=.

(3) 設點P的運動時間為t秒.

因為點P從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向右運動，所以AP=2t.

因為點A對應的數為-1，點C對應的數為4，所以AC=4-(-1)=5.

因為PC=3PB，所以PC>PB. 故點P不可能在點C的右側.

因此，PC=AC-AP.

因為AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t.

分析本小題的題意，點P與點B的位置關系沒有明確的限制，

故本小題應該對以下兩種情況分別進行求解.

①點P在點B的左側，如下圖.

因為點A對應的數為-1，點B對應的數為1，所以AB=1-(-1)=2.

因為AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t.

因為PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t).

解這個關于t的一元一次方程，得 .

②點P在點B的右側，如下圖.

因為AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2.

因為PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2).

解這個關于t的一元一次方程，得 .

綜上所述，當點P運動或秒時，PC=3PB.