Question

（1）如圖1，是某市公園周圍街巷的示意圖，A點表示1街與2巷的十字路口，B點表示3街與5巷的十字路口，如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）表示由A點到B點的一條路徑，那么，你能同樣的方法寫出由A點到B點盡可能近的其他兩條路徑嗎？

（2）從正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十二邊形中任選兩種正多邊形鑲嵌，請全部寫出這兩種正多邊形．并從其中任選一種探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．
（3）如圖2所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個圖形中∠P（均為小于平角的角）與∠A，∠C的關系，請你從所得的四個關系中任選一個加以說明．
（4）閱讀材料：多邊形上或內部的一點與多邊形各頂點的連線，將多邊形分割成若干個小三角形．如圖3給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形．
請你按照上述方法將圖4中的六邊形進行分割，并寫出得到的小三角形的個數以及求出每個圖形中的六邊形的內角和．試把這一結論推廣至n邊形，并推導出n邊形內角和的計算公式．

Answer 1

分析：（1）根據已知的路線可以知道由A到B的一條路徑只能向東，向北，所以根據這個方向即可確定其他的路徑；
（2）分別求出各個正多邊形的每個內角的度數，再利用鑲嵌應符合一個內角度數能整除360即可作出判斷；
（3）a，b都需要用到輔助線利用兩直線平行，內錯角相等的定理加以證明；c，d是利用兩直線平行，同位角相等的定理和三角形外角的性質加以證明；
（4）圖3中，第一個圖形是作一個頂點出發的所有對角線對其進行分割；
第二個圖形是連接多邊形的其中一邊上的一個點和各個頂點，對其進行分割；
第三個圖形是連接多邊形內部的任意一點和多邊形的各個頂點，對其進行分割．
根據上述方法分別進行分割，可以發現所分割成的三角形的個數分別是4個，5個，6個．
根據這樣的兩個特殊圖形，不難發現：
第一種分割法，分割成的三角形的個數比邊數少2，
第二種分割法分割成的三角形的個數比邊數少1，
第三種分割法分割成的三角形的個數等于多邊形的邊數．

解答：解：（1）①（1，2）→（2，2）→（2，2）→（2，4）→（2，5）→（3，5）；
②（1，2）→（1，3）→（1，4）→（1，5）→（2，5）→（3，5）；  

（2）正三角形與正四邊形；正三角形與正六邊形；正三邊形與正十二邊形；正四邊形與正八邊形；正五邊形與正十邊形；

（3）
a、∠P+∠A+∠C=360°；b、∠P=∠A+∠C；c、∠P=∠C-∠A；d、∠P=∠A-∠C．
說明理由（以第三個為例）：
已知AB∥CD，根據兩直線平行，同位角相等及三角形的一個外角等于兩不相鄰內角之和，可得∠C=∠A+∠P．
提示：a、b均可過點P作AB的平行線PQ；c、d可通過外角來證．

（4）如圖所示：

結合兩個特殊圖形，可以發現：
第一種分割法把n邊形分割成了（n-2）個三角形，即內角和為（n-2）×180°；
第二種分割法把n邊形分割成了（n-1）個三角形但多180°，即內角和為：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°；
第三種分割法把n邊形分割成了n個三角形但多360°，即內角和為：n×180°-360°=（n-2）×180°．

點評：（1）題考查了坐標確定位置，是一個信息題目，根據題目隱含的信息找到題目中路徑的規律，然后利用這個規律確定其他的路徑．
（2）題考查了平面鑲嵌（密鋪），幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．
（3）題考查了平行線的有關知識點，這是中考常考的題型；
（4）題考查了多邊形內角與外角，此題要能夠從特殊中發現規律，進而推廣到一般．