Question

【題目】閱讀材料：

小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的紙片進行如下設計：

說明：方案一圖形中的圓過點A，B，C，圓心O也是正方形的頂點；

回答問題（直接寫出結果）：

（1）方案二中，直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為_______cm和_______cm；

（2）小明通過計算，發現方案一中紙片的利用率是________（填準確值），近似值約為38．2%．相比之下，方案二的利用率是________%．小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進行了新的設計（方案三），請直接寫出方案三的利用率是________.

Answer 1

【答案】（1）4cm；8cm；（2）；37.5；49.9%.

【解析】（1）如圖，作輔助線，利用三角形全等和三角形相似對應邊成比例，可以分別求得直角三角形的兩個直角邊的長度

（2）由（1）的結論直接可以得出結論，求得圓的半徑后可以求得紙片的面積，從而利用展開圖的面積除以總面積即可求得利用率；利用方案（3）的方法，分析求解即可求得答案．

（1）如圖3：

建立平面直角坐標系，可得E（2，3）、F（4，2）得直線解析式為y=-x+4，

∴A（0，4）B（8，0）

∴AC=4BC=8．

故答案為：4，8；

（2）∵由題意知：AB=2，

∴圓的半徑為，

∴圓的面積為5π，

∵展開圖的面積為6，

∴利用率=×100%=×100%=；

方案二：由（1）知，AC=4BC=8．

∴S△ACB=16．

∴該方案紙片利用率=×100%=×100%=37.5%．

方案三：過點C作CD⊥EF于D，過點G作GH∥AC，交BC于點H，

設AP=a，

∵PQ∥EK，

易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，

∴AP：AQ=QK：EK=1：2，

∴AQ=2a，PQ=a，

∴EQ=5a，

∵EC：ED=QE：QK，

∴EC=a，

則PG=5a+a=a，GL=a，

∴GH=a，

∵，

解得：GB=a，

∴AB=a，AC=a，

∴S△ABC=×AB×AC=a2，

S展開圖面積=6×5a2=30a2，

∴該方案紙片利用率=×100%=×100%=49.86%≈49.9%.