Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，的平行線交的延長線于點，交的延長線于點，交于點 .

(1)請指出圖中平行四邊形的個數(shù)，并說明理由;

(2)與相等嗎?為什么?

Answer 1

【答案】（1）圖中平行四邊形有3個：平行四邊形ABCD、平行四邊形AMQC、平行四邊形APNC；（2）MP=QN，理由見解析.

【解析】（1）由已知易得圖中有3個平行四邊形，分別是平行四邊形ABCD、平行四邊形AMQC和平行四邊形APNC，由已知條件根據(jù)平行四邊形的判定方法進行分析證明即可；

（2）MP=QN，由（1）可知四邊形AMQC和四邊形APNC都是平行四邊形，由此可得MQ=AC=PN，由此可得MQ-PQ=PN-PQ，從而可得MP=QN.

（1）圖中平行四邊形有3個：平行四邊形ABCD、平行四邊形AMQC、平行四邊形APNC，理由如下：

①四邊形ABCD是平行四邊形是已知條件；

②四邊形APNC是平行四邊形的理由：

∵AC∥MN AB∥CD

∴ ∠MPA＝∠PAC ∠MPA＝∠N

∴∠PAC＝∠N

∵AB∥CD

∴ ∠PAC+∠ACN＝180°，∠N+∠APN＝180°，

∴∠ACN＝∠APN，

∴四邊形APNC是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）

③四邊形AMQC是平行四邊形的理由：

∵AC∥MN， AD∥BC，

∴ ∠M＝∠DAC ，∠DAC＝∠ACQ，

∴∠M＝∠ACQ，

∵AC∥MN，

∴ ∠M+∠MAC＝180°， ∠MQC+∠ACQ＝180°，

∴∠MAC＝∠MQC，

∴四邊形AMQC是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）

（2）MP=QN，理由如下：

∵由（1）可知四邊形AMQC和四邊形APNC都是平行四邊形，

∴MQ=AC=PN，

∴MQ-PQ=PN-PQ，

∴MP=QN.