Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣6與x軸交于點A（﹣6，0），B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線BD與拋物線交于點D，點D與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．

（1）連接CD，求拋物線的表達式和線段CD的長度；
（2）在線段BD下方的拋物線上有一點P，過點P作PM∥x軸，PN∥y軸，分別交BD于點M，N．當△MPN的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A點坐標代入函數解析式，得

36a﹣12﹣6=0．

解得a= ，

拋物線的解析式為y= x2+2x﹣6；

當x=0時y=﹣6．即C（0，﹣6）．

當y=﹣6時，﹣6= x2+2x﹣6，

解得x=0（舍），x=﹣4，即D（﹣4，﹣6）．

CD=0﹣（﹣4）=4，

線段CD的長為4；

（2）

解：如圖

，

當y=0時， x2+2x﹣6=0．解得x=﹣6（不符合題意，舍）或x=2．

即B（2，0）．

設BD的解析式為y=kx+b，將B、D點坐標代入函數解析式，得

，

解得 ，

BD的解析式為y=x﹣2，

當x=0時，y=﹣2，即E（0，﹣2）．

OB=OE=2，∠BOE=90°

∠OBE=∠OEB=45°．

∵點P作PM∥x軸，PN∥y軸，

∴∠PMN=∠PNM=45°，∠NPM=90°．

∵N在BD上，設N（a，a﹣2）；P在拋物線上，設P（a， a2+2a﹣6）．

PN=a﹣2﹣（ a2+2a﹣6）=﹣ a2﹣a+4=﹣ （a+1）2+ ，

S= PN2= [﹣ （a+1）2+ ]2，

當a=﹣1時，S最大= ×（ ）2= ，

a=﹣1， a2+2a﹣6=﹣ ，

點P的坐標為（﹣1，﹣ ）．

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得C、D點坐標，根據平行于x軸直線上兩點間的距離是較大的小橫坐標減較的橫坐標，可得答案；（2）根據待定系數法，可得BD的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得E點坐標，根據等腰三角形的性質，可得∠OBE=∠OEB=45°，根據平行線的性質，可得∠PMN=∠PNM=45°，根據直角三角形的判定，可得∠P，根據三角形的面積公式，根據二次函數的性質，可得a的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．