Question

直線y=-x+b與雙曲線y=

k

x

相交于點D（-4，1）、C（1，m），并分別與坐標軸交于A、B兩點，過點C作直線MN⊥x軸于F點，連接BF．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）求∠BCF的度數；
（3）設直線MN上有一動點P，過P作直線PE⊥AB，垂足為E，直線PE與x軸相交于點H．當P點在直線MN上移動時，是否存在這樣的P點，使以A、P、H為頂點的三角形與△FBC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把點D（-4，1）代入直線y=-x+b與雙曲線y=

k

x

即可得出結論；
（2）根據反比例函數的解析式易求點C的坐標，則由A、C的坐標可以求得∠BCF=45°；
（3）從圖中不難看出∠AHP、∠ACF是同角（或等角）的余角，那么必有∠AHP=∠FCB=45°，首先用未知數設出PF的長，進而由∠AHP的度數求出PH、AH的長，若△AHP、△FCB相似，通過得到的比例線段列式求出這個未知數的值，由此確定點P的坐標（注意要分點P在x軸上方和下方兩種情況討論）．

解答：解：（1）∵直線y=-x+b與雙曲線y=

k

x

相交于點D（-4，1），
∴1=4+b，解得b=-3；
1=

k

-4

，解得k=-4．
∴直線解析式為y=-x-3，雙曲線解析式為y=-

4

x

；

（2）∵點C（1，m）在反比例函數y=-

4

x

上，
∴m=-

4

1

=-4，
∴C（1，-4）．
由點A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠BCF=45°；

（3）①如圖1，當點P在x軸下方時，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，設FH=FP=x，則PH=

2

x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=

2

，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么

PH

BC

=

AH

CF

，則有：

2 x

2

=

4+x

4

，
解得：x=

4

3

，即 P（1，-

4

3

）；
②如圖2，當點P在x軸上方時，∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
設FP=x，則 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=

2

x；
同1可得：

PH

CF

=

AH

BC

，有：

2 x

4

=

x-4

2

，
解得：x=8，即 P（1，8）；
綜上，點P的坐標為（1，-

4

3

）或（1，8）．

點評：此題主要考查了函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等相關知識點；（2）較難，能夠應用含有特殊度數的∠BCF是解答題目的關鍵．