Question

如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長為2，⊙B的半徑長為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點，PC切⊙A于點C，PD切⊙B于點D．
（1）若PC=PD，求PB的長．
（2）試問線段AB上是否存在一點P，使PC²+PD²=4？如果存在，問這樣的P點有幾個并求出PB的值；如果不存在，說明理由．
（3）當點P在線段AB上運動到某處，使PC⊥PD時，就有△APC∽△PBD．請問：除上述情況外，當點P在線段AB上運動到何處（說明PB的長為多少；或PC、PD具有何種關系）時，這兩個三角形仍相似；并判斷此時直線CP與⊙B的位置關系，證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵PC切⊙A點于C，
∴PC⊥AC，
PC²=PA²-AC²，
同理PD²=PB²-BD²，
∵PC=PD，
∴PA²-AC²=PB²-BD²
設PB=x，PA=4-x代入得x²-1²=（4-x）²-2²，
解得x=，1＜＜2，
即PB的長為（PA長為＞2），

（2）假定存在一點P使PC²+PD²=4，設PB=x，
則PD²=x²-1 PC²=（4-x）²-2²，
代入條件得（4-x）²-2²+x²-1=4，
代簡得2x²-8x+7=0解得x=2±，
∵P在兩圓間的圓外部分，
∴1＜PB＜2即1＜x＜2，
∴滿足條件的P點只有一個，這時PB=2-，

（3）當PC：PD=2：1或PB=時，也有△PCA∽△PDB，
這時，在△PCA與△PDB中或，
∠C=∠D=90°，
∴△PCA∽△PDB，
∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延長線上），
∴B點在∠DPE的角平分線上，B到PD與PE的距離相等，
∵⊙B與PD相切，
∴⊙B也與CP的延長線PE相切．
分析：（1）由于PC，PD都是切線，那么三角形ACP和PDB就都是直角三角形，那么我們可以用勾股定理來表示出PC²和PD²，由于PC=PD，那么可得出關于CA²、AP²、PB²、BD²的比例關系式，已知了AC，BD，AB的值如果我們用PB表示出AP，就能在這個比例關系式中求出PB的值；
（2）方法同（1）類似只不過相等改成了PC²+PD²=4，可用（1）的方法先求出PB的長，然后根據PB的取值范圍來判斷有幾個符合條件的值；
（3）要兩個三角形相似，已知的條件有∠ACP=∠BDP=90°，AC：BD=2：1，那么只要讓PC：PD=2：1，就能構成三角形相似判定中兩組對應邊對應成比例且夾角相等的條件，兩三角形相似后∠CPA=∠CPB，如果延長CP那么CP延長線與PD組成的角中，PB正好是角平分線，根據角平分線的點到角兩邊的距離相等，可得出B到CP延長線的距離等于半徑BD的長，因此CP與⊙B也相切．
點評：本題主要考查了切線性質的判定以及相似三角形的判定，具有一定的綜合性，難度較大．