Question

在平面直角坐標系中，點0是坐標原點，四邊形ABCD為菱形，AB邊在x軸上，點D在y軸上，點A的坐標是（-6，0），AB=10．
（1）求點C的坐標：
（2）連接BD，點P是線段CD上一動點（點P不與C、D兩點重合），過點P作PE∥BC交BD于點E，過點B作BQ⊥PE交PE的延長線于點Q．設PC的長為x，PQ的長為y，求y與x之間的函數關系式（直接寫出自變量x的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接AQ、AE，當x為何值時，S_△BQE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP？并判斷此時以點P為圓心，以5為半徑的⊙P與直線BC的位置關系，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點C作CN⊥x軸，垂足為N，求得CN、ON的長，即可得出坐標；
（2）過點P作PH⊥BC，垂足為H，易證△PHC∽△DOA，可得CH=

3

5

x，BH=10-

3

5

x；然后證明四邊形PQBH為矩形，則PQ=BH，即可求得；
（3）過點P作PH′⊥BC，垂足為H′，過點D作DG⊥PQ于點G，過點A作AF⊥PQ交PQ的延長線于點F，用x分別表示出EQ、BQ、AF的值和PE、DG的值，然后，根據S_△BOE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP，可求出x的值，最后根據PH′的值與x的值比較，即可得出其位置關系；

解答：解：（1）如圖1，過點C作CN⊥x軸，垂足為N，則四邊形DONC為矩形，
∴ON=CD
∵四邊形ABCD是菱形，AB=10，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∴ON=10，
∵A（-6，0），
∴OA=6，OD=

AD2-AO2

=

102-62

=8，
∴點C的坐標為（10，8）；

（2）如圖2，過點P作PH⊥BC，垂足為H，則∠PHC=∠AOD=90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠PCB=∠DAO，
∴△PHC∽△DOA，
∴

CH

AO

=

PH

DO

=

PC

AD

，
∴

CH

6

=

PH

8

=

x

10

，
∴PH=

4

5

x，CH=

3

5

x，
∴BH=10-

3

5

x，
∵PE∥BC，BQ⊥PQ，
∴∠PQB=∠QBC=∠PHB=90°，
∴四邊形PQBH為矩形，
∴PQ=BH=10-

3

5

x，
∴y=10-

3

5

x（0＜x＜10）；

（3）如圖3，過點P作PH′⊥BC，垂足為H′，則四邊形PQBH′是矩形，
∴BQ=PH′=

4

5

x，
∵PE∥BC，
∴∠PED=∠CBD，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠CDB=∠PED，
∴PE=PD=10-x，QE=PQ-PE=

2

5

x，
過點D作DG⊥PQ于點G，過點A作AF⊥PQ交PQ的延長線于點F，
∴∠DGF=∠AFG=90°，
∵PQ∥BC，
∴PQ∥AD，
∴∠ADG=90°，
∴四邊形AFGD為矩形，
∴AF=DG，
∵PQ∥BC，
∴∠DPG=∠C，
∵∠DGP=∠PH′C=90°，
∴△DGP∽△PH′C，
∴

DP

PC

=

DG

PH′

，
∴AF=DG=

4

5

（10-x）=8-

4

5

x，
∵S_△BQE+S_△AQE=

1

2

EQ×BQ+

1

2

EQ×AF，
=

1

2

×

2

5

x×

4

5

x+

1

2

×

2

5

x×（8-

4

5

x）=

8

5

x，
S_△DEP=

1

2

PE×DG=

1

2

（10-x）×（8-

4

5

x），
=

2

5

x²-8x+40，
∵S_△BQE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP，
∴

8

5

x=

4

5

（

2

5

x²-8x+40），
整理得，x²-25x+100=0，
∴x₁=5，x₂=20，
∵0＜x＜10，
∴x₂=20不符合題意，舍去，
∴x₁=5，
∴x=5時，S_△BQE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP，
∵PH′=

4

5

x=4＜5，
∴⊙P與直線BC相交．

點評：本題考查了菱形、矩形的判定及性質、相似三角形的判定及性質、勾股定理的運用及直線與圓的位置關系，本題考查知識較多，屬綜合性題目，考查了學生對知識的掌握程度及熟練運用所學知識解答題目的能力．