Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

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4

m2+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長．
（1）m取何值時，方程有兩個正實數(shù)根；
（2）當(dāng)矩形的對角線長為

5

時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)矩形兩鄰邊的長為a，b，根據(jù)△的意義得到△≥0，即（m+1）²-4（

1

4

m²+1）≥0，解得m≥

3

2

，而a、b都是正數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有a+b=m+1＞0，ab=

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4

m²+1＞0，可解得m＞-1，綜合可得到m的取值范圍；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到a²+b²=（

5

）²，變形有（a+b）²-2ab=5，把a+b=m+1，ab=

1

4

m²+1代入得（m+1）²-2（

1

4

m²+1）=5，整理得到m²+4m-12=0，解方程得到m₁=2，m₂=-6，然后即可得到符合條件的m的值．

解答：解：（1）設(shè)矩形兩鄰邊的長為a，b，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

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4

m2+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長，
∴△≥0，即（m+1）²-4（

1

4

m²+1）≥0，解得m≥

3

2

，
a+b=m+1＞0，ab=

1

4

m²+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥

3

2

時，方程有兩個正實數(shù)根；
（2）∵矩形的對角線長為

5

，
∴a²+b²=（

5

）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴（m+1）²-2（

1

4

m²+1）=5，
即m²+4m-12=0，
解得m₁=2，m₂=-6，
∵m≥

3

2

，
∴m=2，
所以當(dāng)矩形的對角線長為

5

時，m的值為2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＞0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理以及矩形的性質(zhì)．