【題目】如圖，∠A=∠B=50°，P 為 AB 中點，點 M 為射線 AC 上（不與點 A 重合）的任意一點，連接 MP， 并使MP 的延長線交射線BD 于點N，設∠BPN=α．
（1）求證：△APM≌△BPN；
（2）當 MN=2BN 時，求α的度數；
（3）若△BPN 為銳角三角形時，直接寫出α的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；(2)α=∠B=50°；(3)40°＜α＜90°．
【解析】
根據AAS可證明△APM≌△BPN.
由（1）中的全等得MN=2PN，所以BN=PN，由等邊對等角可得結論.
三角形的外心是外接圓的圓心，三邊垂直平分線的交點，直角三角形的外心在直角頂點上，鈍角三角形的外心在三角形內部，只有銳角三角形的外心在三角形的內部，所以根據題目中要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內角和可得結論.
(1)∵P是AB的中點，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
∵
，
∴△APM≌△BPN（ASA）；
(2)由(1)得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
(3)∵△BPN是銳角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
新課標快樂提優暑假作業陜西旅游出版社系列答案
暑假銜接培優教材浙江工商大學出版社系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】對于平面內的∠M和∠N，若存在一個常數k＞0，使得∠M＋k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補周角．
（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補周角的度數為 ；
（2）在平面內AB∥CD，點E是平面內一點，連接BE，DE．
①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數；
②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖一次函數
的圖象與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等邊三角形ABC，
（1）求
ABC的面積。
（2）如果在第二象限內有一點P（
），試用含有a的代數式表示四邊形ABPO的面積，并求出當ABP的面積與ABC的面積相等時a的值。
（3）在x軸上，是否存在點M，使MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB．添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（ ）
（A）AB=BE （B）BE⊥DC （C）∠ADB=90° （D）CE⊥DE
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點P在第一象限，△ABP是邊長為2的等邊三角形，當點A在x軸的正半軸上運動時，點B隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點P到原點的最大距離是______；若將△ABP的PA邊長改為
，另兩邊長度不變，則點P到原點的最大距離變為______．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點P在矩形ABCD內．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四邊形AEPH的面積為5cm2，則四邊形PFCG的面積為_______cm2．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；
（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖：兩個等邊三角形△ABD與△BCE，連結AE與CD，
求證：（1）AE=CD;
（2）AE與DC之間的夾角為60°;
（3）AE與CD的交點設為H,BH平分∠AHC.
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