Question

【題目】（發現問題）

（1）如圖1，已知△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線段AD和BE的數量關系是　 　．

（2）將圖1中的△CDE繞點C旋轉到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點F．

①判斷線段AD和BE的數量關系，并證明你的結論；

②圖2中∠AFB的度數是　 　．

（探究拓展）

（3）如圖3，若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點F，分別寫出∠AFB的度數，線段AD、BE間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）AD=BE；（2）①AD=BE，證明詳見解析；②60°；（3）∠AFB=45°，AD=BE．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可求解；

（2）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得AD=BE；

②由全等三角形的性質可得∠ACD＝∠CBF，即可解決問題．

（3）結論：∠AFB=45°，AD=BE．證明△ACD∽△BCE，可得=，∠CBF=∠CAF，由此即可解決問題．

（1）∵△CAB和△CDE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，

∴AD=BE，

故答案為：AD=BE；

（2）如圖2中，

①AD=BE；

∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

②∠AFB=60°；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ACD=∠CBF，

設BC交AF于點O．

∵∠AOC=∠BOF，

∴∠BFO=∠ACO=60°，

∴∠AFB=60°，

故答案為60°；

（3）結論：∠AFB=45°，AD=BE．

理由：如圖3中，

∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，

∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，=，

∴△ACD∽△BCE，

∴=，∠CBF=∠CAF，

∴AD=BE，

∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF，

∴∠AFB=∠ACB=45°．