Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD＝2∠BAC，連接CD，過點C作CE⊥DB，垂足為E，直徑AB與CE的延長線相交于F點．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）當BD＝，sinF＝時，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OF＝5．

【解析】

（1）連接OC．先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；

（2）連接AD．由圓周角定理得出∠D＝90°，證出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝即可求出OF．

（1）連接OC．如圖1所示：

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

又∵∠3＝∠1+∠2，

∴∠3＝2∠1．

又∵∠4＝2∠1，

∴∠4＝∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴CF為⊙O的切線；

（2）連接AD．如圖2所示：

∵AB是直徑，

∴∠D＝90°，

∴CF∥AD，

∴∠BAD＝∠F，

∴sin∠BAD＝sinF＝，

∴AB＝BD＝6，

∴OB＝OC＝3，

∵OC⊥CF，

∴∠OCF＝90°，

∴sinF＝，

解得：OF＝5．