Question

一次函數y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．
（1）求該函數的解析式，并說明點（1，2）是否在函數圖象上；
（2）O為坐標原點，設OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點A、B的坐標代入y=kx+b并計算出k、b的值，從而得出解析式，然后驗證（1，2）是否在函數圖象上即可；
（2）取點C關于點O的對稱點為C′，連接DC′，即C′、P、D共線時，PC+PD的最小值是C′D．在直角三角形C′CD中，根據勾股定理，可得C′D的長，根據三角形的中位線定理已知點P的坐標；

解答：解：（1）∵y=kx+b過A（2，0），B（0，4），
∴將點A、B的坐標代入y=kx+b計算得，
 k=-2，b=4，
∴解析式為：y=-2x+4；
當x=1時，y=-2×1+4=2，所以點在函數圖象上．

（2）存在一點P，使PC+PD最小．
∵0（0，0），A（2，0），且C為AO的中點，
∴點C的坐標為（1，0），
則C關于y軸的對稱點為C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D為AB的中點，
∴點D的坐標為（1，2），
連接C′D，設C′D的解析式為y=kx+b，
有

2=k+b 0=-k+b

，
解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2

2

．

點評：本題考查了一次函數的綜合應用及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合所學軸對稱變換來解決．