Question

（2010•株洲）在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A，其頂點為B．孔明同學用一把寬為3cm帶刻度的矩形直尺對拋物線進行如下測量：
①量得OA=3cm；
②把直尺的左邊與拋物線的對稱軸重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數為4.5．
請完成下列問題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H、G，交拋物線于點E、F．求證：S_梯形EFGH=（EF²-9）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于O、A關于拋物線對稱軸對稱，且OA=3cm，由此可求得拋物線的對稱軸為x=．
（2）根據O、A的坐標，可將拋物線解析式設為交點式，在（1）題求得了拋物線的對稱軸，即可得到B、C的橫坐標，分別代入拋物線的解析式中，表示出它們的縱坐標，根據C、B的縱坐標差為4.5即可列方程求出待定系數的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）可設出E點的橫坐標，進而根據直尺的寬度得到F點的橫坐標，根據（2）題所得拋物線，即可表示出兩點的縱坐標，利用梯形的面積公式，可求出梯形EFGH的面積表達式，然后同（EF²-9）進行比較即可．
解答：（1）解：；

（2）解：設拋物線的解析式為：y=ax（x-3），
當時，，即；
當時，，即，
依題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；

（3）證明：過點E作ED⊥FG，垂足為D，
設，
則，
得：S_梯形EFGH=，
∵，
∴S_梯形EFGH=．
點評：此題考查的知識點并不是很多，主要涉及二次函數解析式的確定以及圖形面積的求法，能夠從圖中獲得有效的信息是解決問題的關鍵．