Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DCF=90°，

在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點，

∴CG= FD，

同理，在Rt△DEF中，

EG= FD，

∴CG=EG．

（2）

解：（1）中結論仍然成立，即EG=CG．

證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG=CG；

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG=NG；

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，

∴四邊形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM=EN，

在△AMG與△ENG中，

∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG=EG，

∴EG=CG．

證法二：延長CG至M，使MG=CG，

連接MF，ME，EC，

在△DCG與△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE與Rt△CBE中，

∵MF=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，

∴△MEC為直角三角形．

∵MG=CG，

∴EG= MC，

∴EG=CG．

（3）

解：（1）中的結論仍然成立．理由如下：

過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．

由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，

又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G為CM中點，

∴EG=CG，EG⊥CG．

【解析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．（2）結論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．（3）結論依然成立．還知道EG⊥CG．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．