Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形中，于，平分交線段于．

（1）如果，求證：；

（2）一般的情況下，如果，試探究線段、與之間的所滿足的等量關系(其中，是已知數)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）nCD=mAF+nBE．

【解析】

（1）延長EA到G，使得 ，連接DG，根據四邊形ABCD是平行四邊形，推出，求出 ，根據SAA證明 ，推出 ， ，求出 ，推出 即可；

（2）延長EA到G，使得 ，連接DG，根據兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形相似，推出 ，推出 ，代入即可求出答案．

（1）過D作DH⊥BC的延長線于H點，并截取HG=AF，連接DG

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴

∵于點E

∴

∴

∴

在△ABE和△DGA中

∴

∴

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

（2）nCD = mAF + nBE.

理由是：延長EA到G，使得，連接DG，

即

因為四邊形ABCD是平行四邊形

所以AB=CD，，AD=BC，

因為于點E

所以∠AEB=∠AEC=90°

所以∠AEB=∠DAG=90°

所以∠DAG=90°，

即∠AEB=∠GAD=90°

因為

所以

所以∠1=∠2，，

所以∠GFD=90°-∠3

因為DF平分∠ADC

所以∠3=∠4

所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3

所以∠GDF=∠GFD

所以DG=GF

因為，AB=CD（已證）

所以nCD=mDG=m

即nCD= mAF + nBE.