Question

【題目】在正方形ABCD的內側作直線BM，點C關于BM的對稱點為E，直線BM與EA的延長線交于點F，連接BE、CE、CF．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：CF⊥EF；

（3）直接寫出線段AB、EF、AF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）EF2+AF2＝2AB2

【解析】

（1）依題意畫圖；

（2）由BE＝BE＝BC構造出E、A、C在以B為圓心的圓上，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得出∠FEC＝45°由FB是EC的垂直平分線推出等腰△EFC,得出∠FEC＝∠FCE＝45°，由三角形內角和推出∠EFC＝90°，得出結論；

（3）利用勾股定理： 得出 由于 得出結論。

解：（1）圖形如圖1中所示：

（2）如圖2中，

∵BE＝BE＝BC，

∴E、A、C在以B為圓心BC為半徑的⊙B上，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠FEC＝∠ABC＝45°，

∵BM是線段EC的垂直平分線，

∴FE＝FC，

∴∠FEC＝∠FCE＝45°，

∴∠EFC＝90°，即EF⊥CF．

（3）如圖3中，結論：．

理由：連接AC．

∵∠AFC＝∠ABC＝90°，