Question

【題目】如圖①，直線y＝與x軸、y軸分別交于點B，C，拋物線y＝過B，C兩點，且與x軸的另一個交點為點A，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點D（與點A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）有寬度為2，長度足夠長的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線CB于點M和點N，在矩形平移過程中，當以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點D（8，5），理由見解析；（3）點M的坐標為（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖①中，作AD∥BC交拋物線于D，則S△ABC=S△BCD．求出直線AD的解析式，構建方程組確定坐標即可．
（3）設M（m，m-3），則N（m+2，m-2），可得P（m，m2-m-3），Q[m+2，（m+2）2-（m+2）-3]，推出PM=m-3-（m2-m-3），NQ=m-2-[（m+2）2-（m+2）-3]，當PM=QN時，點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，由此構建方程即可解決問題．

（1）由題意C（0，﹣3），B（6，0），把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3．

（2）如圖①中，作AD∥BC交拋物線于D，則S△ABC＝S△BCD．

∵直線BC的解析式為y＝x﹣3，A（﹣2，0），∴直線AD的解析式為y＝x+1，由，解得或，∴D（8，5）．

∵直線AD交y軸于E（0，1），點E關于點C的對稱點E′（0，﹣7），

∴過點E′平行BC的直線的解析式為y＝x﹣7，由，方程組無解，

∴在直線BC的下方不存在滿足條件的點D．∴滿足條件的點D（8，5）．

（3）設M（m，m﹣3），則N（m+2，m﹣2），

∴P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，

∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，

當PM＝QN時，點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|解得：m＝2或2±2，

∴滿足條件的點M的坐標為（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．