Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，過點A作AE⊥BD于點E，延長BD交AC延長線于點F．

（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半徑；

（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)連接OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的長，設半徑為, 在Rt△OAE中，利用勾股定理構建方程即可求解；

(2)連接CD，設OA交BC于點H，先證得OA⊥BC，推出OH//CD，設OH=，推出CD=，OA=，AH=，利用勾股定理求得，，即可求解．

(1)連接OA，

∵AE=4，AB=5，AE⊥BD，

∴，即，

∴BE=3，

設⊙O半徑為，

在Rt△OAE中，OA=OB=，OE=，AE=4，

∴，即，

解得：，

∴⊙O半徑為；

(2)連接CD、OA，設OA交BC于點H，

∵AB=AC，

∴=，即點A為的中點，

∴OA垂直平分BC，

∴OA⊥BC，

∵BD為直徑，

∴∠BCD=90，

∵∠BHO=∠BCD=90，BO=OD，

∴OH//CD，CD =2OH，

設OH=，則CD=，

∵BD=2DF，

∴OD=DF，

∴CD =OA，

∴OA=，

則AH=，

在Rt△BOH中，OB=OA=，OH=，

∴，即，

∴，

在Rt△BAH中，，

∴，

∵AB=AC，

∴sin∠ACB= ．