Question

如圖△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm；△DEF中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.現將△DEF的直角邊DF與△ABC的斜邊AB重合在一起，并將△DEF沿AB方向移動（如圖）.在移動過程中，D、F兩點始終在AB邊上（移動開始時點D與點A重合，一直移動至點F與點B重合為止）.

（1）在△DEF沿AB方向移動的過程中，有人發現：E、B兩點間的距離隨AD的變化而變化，現設AD="x,BE=y," 請你寫出與之間的函數關系式及其定義域.
（2）請你進一步研究如下問題：
問題①：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，E、B的連線與AC平行？
問題②：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.
問題③：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、EB、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

Answer 1

（1）(其中0x7)
①，②，
③當AD為斜邊時,AD=BE+BC，=+25解得x=6.7
當BE為斜邊時,BE=AD+BC，=+25解得x=4.2
當BC為斜邊時,BC=BE+AD，25=+無實數解

試題分析：
（1）根據題意，觀察圖形，由勾股定理即可求出；
（2）①因為∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AC=10cm，又因為∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，連接BE，設BE∥AC，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長可求；
②假設∠EBD=22.5°，因為∠EDF=45°，所以EF=BF，求得AD=,故不存在．
③設AD=x，則BE=，再分情況討論：FC為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長；
試題解析：
∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，
∴AB=10
,
(其中0x7)
（2）①當BE∥AC時，則∠EBD=∠A=30°
∴，
，∴
②當∠EBD=22.5°，∵∠EFD=45°，∴EF=BF，
，∴
③BE=，BC="5"
當AD為斜邊時,AD=BE+BC，=+25解得x=6.7
當BE為斜邊時,BE=AD+BC，=+25解得x=4.2
當BC為斜邊時,BC=BE+AD，25=+無實數解