Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC∶BC＝4∶3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．

（1）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當x＝5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由．

（3）當點Q在BC邊上運動時，是否存在x，使得以△PBQ的一個頂點為圓心作圓時，另外兩個頂點均在這個圓上，若存在，求出 x的值；不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、y=－＋8x（0＜x≤3），y=；(2)、16；(3)、x=.

【解析】

試題分析：(1)、分點Q在邊BC上和點Q在邊CA上運動；(2)、根據AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5以及AC=8，AB=10，從而得出PQ是AC的垂直平分線，則PC=AP=5，即當點M與P重合時，△BCM的周長最小；(3)、本題需要分三種情況得出答案.

試題解析：(1)、①當點Q在邊BC上運動時．y=－＋8x（0＜x≤3），

②當點Q在邊CA上運動時，y==（3＜x＜7）；

(2)、存在． 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10，

∴PQ是△ABC的中位線， ∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分線，

∴PC=AP=5， ∴當點M與P重合時，△BCM的周長最小，

∴△BCM的周長為： MB＋BC＋MC＝PB＋BC＋PC=5＋6＋5=16． ∴△BCM的周長最小值為16．

(3)、由題意得△PBQ為等腰三角形。

①PQ=PB,x=＞3(舍) ②BQ=BP，x=＞3（舍） ③QP=QB,x=，

綜上所述，存在滿足題意得x，x=.