Question

【題目】對于一個關于x的代數式A，若存在一個系數為正數關于x的單項式F，使的結果是所有系數均為整數的整式，則稱單項式F為代數式A的“整系單項式”．例如：

當A=，F=2x3時，由于=1，故2x3是的整系單項式；

當A=，F=6x5時，由于，故6x5是的整系單項式；

當A=3-，F=時，由于=2x-1，故是3-的整系單項式；

當A=3-，F=8x4時，由于，故8x4是3-的整系單項式；

顯然，當代數式A存在整系單項式F時，F有無數個，現把次數最低，系數最小的整系單項式F記為F（A）．例如：，

閱讀以上材料并解決下列問題：

（1）判斷：當A=時，F=2x3______A的整系單項式（填“是”或“不是”）

（2）解方程：

（3）已知a、b、c是△ABC的邊長，其中a、b滿足（a-5）2+=0，且關于x的方程||=c有且只有3個不相等的實數根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）x=；（3）26或27；

【解析】

（1）當A=時，F=2x3時，=x；

（2）令F=axn，結合定義進行判斷，即可求出F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，將所求方程轉化為-1=即可求解；

（3）根據平方與二次根式的性質可求a=5，b=9，再求出F（）=x2，將所求式子轉化為可以化為||=c，結合函數圖象即可求解；

解：（1）當A=時，F=2x3時，=x，

∴是2x3的整系單項式；

（2）F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，

∴可以化為-1=，

∴2x2-3x+1=0，

∴x=1或x=；

經檢驗x=1是方程的增根，

∴原方程的解為x=；

（3）∵（a-5）2+=0，

∴a=5，b=9，

F（）=x2，

∴||=c可以化為||=c，

∴|（x-3）++6|=c，

當x=6時，c=12，

∴當x≥6時，c≥12，此時方程有且只有3個不相等的實數根，

∵c＜14，

∴c=12或c=13，

∴△ABC的周長為26或27；