Question

有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點（但不與頂點重合），若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求證：AF=EC；
（2）用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EE'B'C．
①當x：b為何值時，直線E'E經過原矩形的一個頂點？
②在直線E'E經過原矩形的一個頂點的情形下，連接BE'，直線BE'與EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當a與b有何種數量關系時，它們就垂直？

Answer 1

分析：（1）由于EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，所以可由面積相等建立等式，進而求解；
（2）可先作出簡單的圖形，根據題中條件，則可作出兩種符合題意的圖形，進而依據題意再結合圖形，求解即可．

解答：解：（1）證明：由

1

2

（x+AF）•a=

1

2

（b-x+b-AF）•a，
得AF=b-x，
又EC=b-x，
∴AF=EC．

（2）翻折后的圖形如圖，

①如圖1，當直線EE′經過原矩形頂點D時，x：b=

2

3

，
如圖2，當直線E′E經過原矩形的頂點A時，x：b=

1

3

；
②如圖1，當矩形E′E經過原矩形頂點D時，BE′∥EF，
理由如下：根據題意得，BE=DF，EE′=EF，
又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，
∴在△BEE′與△FDE中，

BE=DF ∠BEE′ EE′=DE

=∠EDF，
∴△BEE′≌△FED（SAS），
∴∠BE′E=∠FED，
∴BE′∥EF；
如圖2，當直線E′E經過原矩形的頂點A時，且當a：b=

2

3

時，BE′與EF垂直．

點評：本題主要考查了梯形面積的計算方法以及對于翻折、旋轉一類問題的求解，能夠熟練掌握這類問題的解題思想，并能夠熟練求解．