Question

如圖1，在x軸正半軸上以OB為斜邊、BC為直角邊向第一象限分別作等腰Rt△AOB和Rt△CDB． OA=8，BC=4，在∠ABD內有一半徑為1，且與AB、BD相切的⊙P．
（1）寫出⊙P的圓心坐標；
（2）若△CDB在x軸上以每秒2個單位的速度向左勻速平移，⊙P同時相應在BA和BD上滑動，且保持與BA、BD相切，至⊙P終止運動．設運動時間為t秒，試用含t的代數式表示P點坐標；并證明P點的橫、縱坐標之和為定值；
（3）如圖2，過D點作x軸的平行線交AB于E，D’B’與AB交于M，在滿足（2）的前提下，t取何值時，⊙P可成為△D’EM的內切圓；如果⊙P與DE相切于點F，求△AEF的面積．

Answer 1

（1）作PM⊥AB，
∵圓P與AB、BD與P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x軸，
而BP=

2

r=

2

，OB=

2

OA=8

2

，
∴點P的橫坐標為8

2

，縱坐標為

2

，則P（8

2

，

2

），

（2）根據題意可知，點P的橫坐標為8

2

-t，縱坐標為

2

+t，則P（8

2

-t，

2

+t），
因為8

2

-t+

2

+t=9

2

，所以P點的橫、縱坐標之和為定值；

（3）當⊙P成為△D′EM的內切圓時，D′M=2+

2

，B′M=4

2

-D′M=3

2

-2，BB′=6-2

2

，
即2t=6-2

2

，得t=3-

2

，
S_△AEF=

1

2

×（

2

+1）（4

2

-

2

-1-3+

2

）=2．