Question

【題目】正方形ABCD,點E為AB的中點,且BF=BC.

（1）如圖1，求證：DE⊥EF.

（2）如圖2，若點G在BC上，且CD=3CG，DG、EF交于H點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接DF，設BF=a，利用勾股定理用a表示出DE、EF、DF的長，然后根據勾股定理的逆定理即可得出結論；

（2）連接EG，延長BC至M，使CM＝AE，連接DM，可得△DAE≌△DCM，得出DE=DM，∠ADE=∠CDM，推出∠EDM=90°，然后利用勾股定理分別用a表示EG和MG，證出EG=MG，利用SSS可證得△DGE≌△DGM，進而證得∠EDH=45°，利用勾股定理求出DH，即可得出的值．

（1）連接DF，設BF=a，則CF=3a，AD=CD=4a，AE=BE=2a，

由勾股定理得：DF=5a，DE= 2a，EF=a，

∴DE2+EF2=( 2a)2+(a)2=25a2，DF2=25a2，

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90，

∴DE⊥EF；

（2）連接EG，延長BC至M，使CM＝AE，連接DM，

在△DAE和△DCM中，

，

∴△DAE≌△DCM(SAS)，

∴DE=DM，∠ADE=∠CDM，

∴∠EDM=∠ADC=90°，

∵CD=3CG，

∴CG=a，

∴MG=MC+CG=2a+a=a，

在RtΔBEG中，由勾股定理得：EG=a，

∴EG=MG，

∴△DGE≌△DGM（SSS），

∴∠EDG=∠MDG=45°，

∴△EDH是等腰直角三角形，

∴DH=DE=EH，

∴=．