Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；
（3）若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A′求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

分析：（1）由于A、B、C三點的坐標已知，代入函數解析式中利用待定系數法就可以確定函數的解析式；
（2）若點D為線段OA的一個三等分點，那么根據已知條件可以確定D的坐標為（0，1）或，（0，2），而C的坐標已知，利用待定系數法就可以確定直線CD的解析式；
（3）如圖，由題意，可得M（0，

3

2

），點M關于x軸的對稱點為M′（0，-

3

2

），點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A'（6，3），連接A'M'，根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求點P運動的最短總路徑的長，根據待定系數法可求出直線A'M'的解析式為y=

3

4

x-

3

2

，從而求出E、F兩點的坐標，再根據勾股定理可以求出A'M'=

15

2

，也就求出了最短總路徑的長．

解答：解：（1）根據題意，c=3，
所以

a+b+3=0 25a+5b+3=0

解得

a= 3 5 b=- 18 5

所以拋物線解析式為y=

3

5

x²-

18

5

x+3．

（2）依題意可得OA的三等分點分別為（0，1），（0，2）．
設直線CD的解析式為y=kx+b．
當點D的坐標為（0，1）時，直線CD的解析式為y=-

1

5

x+1；
當點D的坐標為（0，2）時，直線CD的解析式為y=-

2

5

x+2．

（3）如圖，由題意，可得M（0，

3

2

）．
∵點M關于x軸的對稱，
∴點為M′（0，-

3

2

），
∴點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A'（6，3）．
連接A'M'．
根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求點P運動的最短總路徑的長．
∴A'M'與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點．
∴可求得直線A'M'的解析式為y=

3

4

x-

3

2

．
∴可得E點坐標為（2，0），F點坐標為（3，

3

4

）．
由勾股定理可求出A′M′=

15

2

．
∴點P運動的最短總路徑（ME+EF+FA）的長為

15

2

．（8分）

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，一次函數的解析式，圖形的對稱變換，求最短線段之和等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．