Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，E為射線BA上一點，D為直線BC上一點，ED＝EC．

（1）當點E在AB的上，點D在CB的延長線上時（如圖1），求證：AE+AC＝CD；

（2）當點E在BA的延長線上，點D在BC上時（如圖2），猜想AE、AC和CD的數量關系，并證明你的猜想；

（3）當點E在BA的延長線上，點D在BC的延長線上時（如圖3），請直接寫出AE、AC和CD的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC﹣AE＝CD，證明見解析；（3）AE﹣AC＝CD．

【解析】

（1）在CD上截取CF=AE，連接EF，運用“AAS”證明△EDB≌△ECF

得AE=BD，從而得證；

（2）在BC的延長線上截取CF＝AE，連接EF，同理可得AE、AC和CD的數量關系；

（3）同（2）的探究過程可得AE、AC和CD的數量關系.

（1）證明：在CD上截取CF＝AE，連接EF．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，AB＝BC．

∴BF＝BE，△BEF為等邊三角形．

∴∠EBD＝∠EFC＝120°．

又∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECF．

∴△EDB≌△ECF （AAS）

∴CF＝BD．

∴AE＝BD．

∵CD＝BC+BD，BC＝AC，

∴AE+AC＝CD；

（2）解：在BC的延長線上截取CF＝AE，連接EF．

同（1）的證明過程可得AE＝BD．

∵CD＝BC﹣BD，BC＝AC，

∴AC﹣AE＝CD；

（3）解：AE﹣AC＝CD．

（在BC的延長線上截取CF=AE，連接EF．證明過程類似（2））．

故答案為：（1）證明見解析；（2）AC﹣AE＝CD，證明見解析；（3）AE﹣AC＝CD．