Question

【題目】任意給定2008個自然數，證明：其中必有若干個自然數，和是2008的倍數（單獨一個數也當做和）。

Answer 1

【答案】證明過程見詳解。

【解析】

要證明：任意給定2008個自然數，其中必有若干個自然數，和是2008的倍數（單獨一個數也當做和）；可先將這2008個數依次排列然后進行求和，從而來判斷是否有和是2008的倍數；若沒有，則必有兩個和除以2008的余數相同，那么它們的差（仍然是，，……中若干個數的和）是2008的倍數；據此解答。

把這2008個數先排成一行：，，……，

第1數為；

前2個數之和為＋；

前3個數之和為：＋＋；

……

前2008個數之和為＋＋＋…＋，

如果這2008個和中有一個是2008 的倍數，那么問題已經解決；如果這2008個和中沒有2008的倍數，那么它們除以2008 的余數只能為1， 2，……2007之一，根據抽屜原理，必有兩個和除以2008的余數相同，那么它們的差（仍然是，，……中若干個數的和）是2008的倍數，所以結論成立。