403.求證：在已知二面角，從二面角的棱出發(fā)的一個半平面內(nèi)的任意一點，到二面角兩個面的距離的比是一個常數(shù).
已知：二面角α-ED-β，平面
過ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.
求證：AB∶AC＝k(k為常數(shù))
證明：過AB、AC的平面與棱DE交于點F，連結(jié)AF、BF、CF.
∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.
∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.
∠BFA，∠AFC分別為二面角α-DE-，-DE-β的平面角，它們?yōu)槎ㄖ?
在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.
在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：
＝
＝定值.
402.自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補.
已知：從二面角α-AB-β內(nèi)一點P，向面α和β分別引垂線PC和PD，它們的垂足是C和D.求證：∠CPD和二面角的平面角互補.
證：設(shè)過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E，
∵PC⊥α，PD⊥β
∴PC⊥AB，PD⊥AB
∴CE⊥AB，DE⊥AB
又∵CE
α，DEβ，∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.
在四邊形PCED內(nèi)：∠C＝90°，∠D＝90°
∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互補.
401. 如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜邊AB上的點，以CD為棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在怎樣的位置時，AB為最小，最小值是多少?
解析： 設(shè)∠ACD＝θ，則∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.
∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因為A-CD-B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM與BN成90°的角，于是AB＝
＝
≥
.
∴當θ＝45°即CD是∠ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為.
400. 斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三點的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側(cè)面積。
解析：∵A1A=A1B=A1C
∴ 點A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線AD上
∵ AB=AC
∴ AD⊥BC
∵ AD為A1A在平面ABC上的射影
∴ BC⊥AA1
∴ BC⊥BB1
∴ BB1C1C為矩形，S=BB1×BC=156
取AB中點E，連A1E
∵ A1A=A1B
∴ A1E⊥AB
∴ 
∴ 
∴ S側(cè)=396
399. 四棱錐V-ABCD底面是邊長為4的菱形，∠BAD=1200，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，(1)求點V到CD的距離；(2)求點V到BD的距離；(3)作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；(4)求異面直線BD與VC間的距離。
解析：用三垂線定理作點到線的垂線
在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD，E為垂足
∵ VA⊥平面ABCD
∴ AE為VE在平面ABCD上的射影
∴ VE⊥CD
∴ 線段VE長為點V到直線CD的距離
∵ ∠BAD=1200
∴ ∠ADC=600
∴ △ACD為正三角形
∴ E為CD中點，AE=
∴ VE=
(2)∵ AO⊥BD
∴ 由三垂線定理VO⊥BD
∴ VO長度為V到直線BD距離
VO=
(3)只需證OF⊥BD
∵ BD⊥HC，BD⊥VA
∴ BD⊥平面VAC
∴ BD⊥OF
∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線
(4)求出OF長度即可
在Rt△VAC中
OC=
AC=2，VC=
∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·
398. 平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O，過直徑AB的端點A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點，∠CAB=600，求三棱錐P-OBC的側(cè)面積。
解析：三棱錐P-OBC的側(cè)面由△POB、△POC、△PBC三個三角形組成
在求出邊長元素后，求三角形面積時，應(yīng)注意分析三角形的形狀，簡化計算
∵ PA⊥平面ABC
∴ PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影
∵ BC⊥AC
∴ BC⊥PC
△
POB中，
△
PBC中，BC=ABsin600=2a
∴ AC=a
∴ PC=
∴ 
△
POC中，PO=PC=，OC=a
∴ 
∴ S側(cè)=
397. 斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角，AA1=7
(1)求證：AA1⊥BC；(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的全面積；(3)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積；(4)求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。
解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0
∵ ∠A1AB=∠A1AC
∴ O在∠BAC的平行線AM上
∵ △ABC為正三角形
∴ AM⊥BC
又AM為A1A在平面ABC上的射影
∴ A1A⊥BC
(2)
∵ B1B∥A1A
∴ B1B⊥BC，即側(cè)面BB1C1C為矩形
∴ 
又
∴ S全=
(3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB
∴ cos∠A1AO=
∴ sin∠A1AO=
∴ A1O=A1Asin∠A1AO=
∴ 
(4)把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點A或A1到平面BB1C1C的距離
為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影，首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面
設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1
∵ BC⊥AM，BC⊥A1A
∴ BC⊥平面AA1M1M
∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1
在平行四邊形AA1M1M中
過A1作A1H⊥M1M，H為垂足
則A1H⊥側(cè)面BB1C1C
∴ 線段A1H長度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離
∴ 
396.
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，在側(cè)棱BB1上截取BD=
，在側(cè)棱CC1上截取CE=a，過A、D、E作棱柱的截面ADE
(1)求△ADE的面積；(2)求證：平面ADE⊥平面ACC1A1。
解析：分別在三個側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長
AE=
a，AD=
a，DE=
∴ 截面ADE為等腰三角形
S=
(2)∵ 底面ABC⊥側(cè)面AA1C1C
∴ △ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AA1C1C
下設(shè)法把BM平移到平面AED中去
取AE中點N，連MN、DN
∵ MN
EC，BDEC
∴ MNBD
∴ DN∥BM
∴ DN⊥平面AA1C1C
∴ 平面ADE⊥平面AA1C1C
395.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900，∠BAC=300，BC=1，AA1=
，M為CC1中點，求證：AB1⊥A1M。
解析：
因結(jié)論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理
∵ ∠ACB=900
∴ ∠A1C1B1=900
即B1C1⊥C1A1
又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1
∴ B1C1⊥平面AA1C1C
∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影
由三垂線定理，下證AC1⊥A1M即可
在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=
，AA1=CC1=
∵ 
，
∴ 
∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1
∴ ∠1=∠2
又∠2+∠3=900
∴ ∠1+∠3=900
∴ AC1⊥A1M
∴ AB1⊥A1M
評注：利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線
394. 如右圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60°角。
(1)求證：AC⊥面ABC1；
(2)求證：C1點在平面ABC上的射影H在直線AB上；
(3)求此三棱柱體積的最小值。
解析：(1)由棱柱性質(zhì)，可知A1C1//AC
∵A1C1
BC1，
∴ACBC1，又∵ACAB，∴AC平面ABC1
(2)由(1)知AC平面ABC1，又AC
平面ABC，∴平面ABC平面ABC1
在平面ABC1內(nèi)，過C1作C1HAB于H，則C1H平面ABC，故點C1在平面ABC上
的射影H在直線AB上。
(3)連結(jié)HC，由(2)知C1H平面ABC，
∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角，
∴∠C1CH=60°，C1H=CH·tan60°=
V棱柱=
∵CAAB，∴CH
，所以棱柱體積最小值3
。
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