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如圖，五面體中，．底面是正三角形，．四邊形是矩形，二面角為直二面角．

（Ⅰ）在上運動，當在何處時，有∥平面，并且說明理由；

（Ⅱ）當∥平面時，求二面角余弦值．

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如圖，五面體中，．底面是正三角形，．四邊形是矩形，二面角為直二面角．

（Ⅰ）若是中點，求證：∥平面；

（Ⅱ）求該五面體的體積.

 

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一、選擇題

AACCD   BBDDD   AC

二、填空題

13．    14．T₁₃    15．①⑤    16．

三、解答題

17．解：（Ⅰ）因為，

由正弦定理，得，              ……3分

整理，得

因為、、是的三內角，所以，    

因此  ．                                                 ……6分

   （Ⅱ），即，                ……8分

由余弦定理，得，所以，      ……10分

解方程組，得 ．                       ……12分

18．（本題滿分12分）

解法一：記與的比賽為，

  （Ⅰ）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：

，,

, ,

, ．　　………………………３分

　　其中田忌獲勝的只有一種，所以田忌獲勝的概率為．

　　　…………………………………………………………………………………………６分

（Ⅱ）已知齊王第一場必出上等馬，若田忌第一場出上等馬或中等馬，則剩下兩場中至少輸掉一場，這時田忌必敗．

為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬，后兩場有兩種情形：

①若齊王第二場派出中等馬，可能對陣情形是、

或者、，所以田忌獲勝的概率為；　………………………９分

②若齊王第二場派出下等馬，可能對陣情形是、

或者、，所以田忌獲勝的概率為，

所以田忌按或者的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大值．

　　　………………………………………………………………………………………１２分

解法二：各種對陣情況列成下列表格：

1

2

3

4

5

6

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………３分

（Ⅰ）其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌獲勝的概率為．……６分

（Ⅱ）為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬，即只能是第五、第六兩種情形．　　…………………………………………………９分

其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌按或者的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大值．………………………１２分

19．（本題滿分12分）

解證: （Ⅰ） 連結連結，

∵四邊形是矩形 

∴為中點

又為中點,從而∥ ------------3分

∵平面,平面

∴∥平面_。-----------------------5分

（Ⅱ）（方法1）

三角形的面積-------------------8分

到平面的距離為的高 

∴---------------------------------11分

因此，三棱錐的體積為。------------------------------------12分

（方法2）

_，

_，

∴為等腰，取底邊的中點，

則，

∴的面積　-----------8分

∵，∴點到平面的距離等于到平面

的距離，

由于，，

∴ ，

過作于，則就是到平面的距離，

又_{，----------11分}

---------------------12分

（方法３）

到平面的距離為的高 

∴四棱錐的體積------------------------9分

三棱錐的體積

  ∴---------------------------------------------11分

       因此，三棱錐的體積為。-------------------------------------12分

20．（Ⅰ）依題意知,                                                     

∵,

∴．                                        

∴所求橢圓的方程為．                     ……4分              

（Ⅱ）設點關于直線的對稱點為，

∴                            ……6分                 

解得：，．                 ……8分               

∴．                                ……10分           

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則．

∴的取值范圍為．                      ……12分

21．解：（Ⅰ）由知，定義域為，

．     ……………………3分

當時，,                    ………………4分

當時， ．                            ………………5分

所以的單調增區間是,

的單調減區間是．           …………………… ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調遞增，

在上單調遞減，在上單調遞增，且當或時，

, 所以的極大值為，

極小值為． 　　………………………8分

又因為,　

,  ………１０分

所以在的三個單調區間上，

直線與的圖象各有一個交點，

當且僅當, 因此，

的取值范圍為．   ………………12分

22．解：（Ⅰ）當時，　　……………………………3分

       ∴=

      =

      =

      =　　…………………………………7分

       （Ⅱ）  

  +

+

=

=　……………13分

當且僅當，即時，最小．……………………14分