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如圖3，正方體中，分別為
與的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值．

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如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的正切值．

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一、選擇題：

1．C 2．D3．A4．C 5．C6．A7．B  8．D9．B10．D11．B 12．B

二、填空題：

13、  14、  15、1   16、一   17、4  18、56  19、  20、 21、 22、4/9  23、②  24、 25、 26、①

三、解答題：

16、解: (Ⅰ),  

 ∴，

 解得．

(Ⅱ)由,得：,   

∴   

∴

17、解：（1）

則的最小正周期，  

且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增．

即為的單調(diào)遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不扣分）．………6分

（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)．

所以．     

為的對(duì)稱軸．    

18、解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，

∵“兩球恰好顏色不同”共種可能，

∴．

解法二：“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，

∵每次摸出一球得白球的概率為．

∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為．

（Ⅱ）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為，依題意得：

，

，

．

∴，

．

19、(Ⅰ)證明:  連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié). 

是菱形, ∴是的中點(diǎn).

  點(diǎn)為的中點(diǎn), ∴.   

平面平面, ∴平面.

(Ⅱ)解法一:

 平面,平面,∴ .

，∴. 

是菱形,  ∴.

，

∴平面.

作，垂足為，連接，則,

所以為二面角的平面角.

,∴，.

在Rt△中,=，

∴.

∴二面角的正切值是.

解法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，

則，,．

∴． 

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

由，得，

令，則，∴.   

平面,平面,

∴. 

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.

∴是平面的一個(gè)法向量,．

∴，

∴， 

∴．

∴二面角的正切值是.

20、解:圓的方程為,則其直徑長,圓心為,設(shè)的方程為,即,代入拋物線方程得:,設(shè)，

有,  

則. 

故 …6分

,

因此.   

據(jù)等差,_, 

所以_，即,_，分

即：方程為或. 

21、解：（1）因?yàn)?sub>，

所以，滿足條件.  

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根．

所以函數(shù)是集合M中的元素．

（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），

則，

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

使得等式成立， 

因?yàn)?sub>，所以，與已知矛盾，

所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（3）不妨設(shè)，因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，所以，

  又因?yàn)?sub>，所以函數(shù)為減函數(shù)，

  所以，

所以，即，

所以．