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如圖，在平面直角坐標系中，以點A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點D、E．
（1）若拋物線y=

1

3

x²+bx+c經過C、D兩點，求出此拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點F，使得△FBD的周長最小；
（3）設Q為（1）中拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
（4）連接BD、CD，設P為（1）中拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點P，使得△ABP與△DBC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．