題目列表(包括答案和解析)
已知三棱錐S－ABC的底面是正三角形，點A在側面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA＝a，則此三棱錐體積最大值是
A．
B．
C．
D．
已知三棱錐P－ABC是正三棱錐，求證：
(1)它的各個側面與底面所成的角相等；
(2)正三棱錐底面積與側面積S之比是各個側面與底面所成角的余弦值．
如圖，已知三棱錐P－ABC是正三棱錐，求證：
(1)它的各個側面與底面所成的角相等；
(2)正三棱錐底面積與側面積S之比是各個側面與底面所成角的余弦值．
一．選擇題：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空題：
11．
a+
b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14．
15．120º 16．②④
三．解答題：
17．由題設，得
，
，
，雙曲線為
， …… 2分
直線AB的方程為 
，
……………………… 4分
代入到雙曲線方程得：4x2+20ax
又
，由
得：
12=
，
……………………… 9分
解得a2=1，則b2=3，所以
為所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）
∴ 
……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 當在（－∞，0）上
,在(0,2)上
,在
上,
故
在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,
因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
過P作MN∥B
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分
設AA1=a，則AB=
a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐
為正三棱錐，
∴O在平面PBC內的射影為
的重心
………… 14分
解法二：（建立空間坐標系）
20．解 (Ⅰ)由
=
3在[a ，b]上為減函數，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取
1 = 1 ，
2 = 10，可得
(
)不是減函數；取1 =
，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數．
………… 10分
(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a
，b]，則
故a ， b是方程=
的兩個實根，命題等價于
有兩個不等實根．
………… 13分
當k
時，
解得：
，∴ 
；
當
時，
這時
無解．
所以 k的取值范圍是
．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=
，bn=
，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜
=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）
參考答案
一．選擇題：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空題：
11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④
三．解答題：
17．由題設，得，，，雙曲線為
， …… 2分
直線AB的方程為
，
……………………… 4分
代入到雙曲線方程得：
， ……………………… 6分
又，由得：
，
……………………… 9分
解得
，則
，所以
為所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）
∴ ……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,
故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,
因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
過P作MN∥B
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分
設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。
………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內的射影為的重心
………… 14分
解法二：（建立空間坐標系）
20．解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取1 = 1 ，
2 = 10，可得()不是減函數；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數．
………… 10分
(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a
，b]，則
故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于
有兩個不等實根．
………… 13分
當k時，解得：，∴ ；
當時，這時無解．
所以 k的取值范圍是．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）
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