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設P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N） 是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²構成了一個公差為d（d≠0） 的等差數列，其中O是坐標原點．記S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程為-y²=1，n=3．點P₁（3，0） 及S₃=162，求點P₃的坐標；（只需寫出一個）
（2）若C的方程為y²=2px（p≠0）．點P₁（0，0），對于給定的自然數n，證明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差數列；
（3）若C的方程為（a＞b＞0）．點P₁（a，0），對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值．

符號意義	本試卷所用符號	等同于《實驗教材》符號
向量坐標	={x，y}	=（x，y）
正切	tg	tan

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說明

 1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精進行評分。

2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分。

一、（第1題到第12題）

（1）p             （2）            （3）－49           （4）

（5）arctg2          （6）[1，3]         （7）     （8）（a₁>0，0<q<1的一組數）

（9）            （10）2.6            （11）4p             （12）|PF₂|=17

二、（第13題至第16題）

（13）C    （14）D   （15）D   （16）B

三、（第17題至第22題）

（17）[解]  |z₁?z₂| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|

    故|z₁?z₂|的最大值為，最小值為．

（18）[解]連結BC，因為B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD．

在△BCD中，BC=2，CD=4，

所以

又因為直線B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B₁DB＝30°，于是

故平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積為

（19）[解]  x須滿足，由得－1<x<1，

所以函數f （x）的定義域為（－1，0）∪（0，1）．

因為函數f （x）的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有

所以f （x）是奇函數．

研究f （x）在（0，1）內的單調性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設x₁< x₂，則

由

得f （x₁）－f （x₂）>0，即f （x）在（0，1）內單調遞減，

由于f （x）是奇函數，所以f （x）在（－1，0）內單調遞減．

（20）[解]（1）如圖建立直角坐標系，則點p（11，4.5），

橢圓方程為

將b=h＝6與點p坐標代入橢圓方程，得，此時

因此隧道的拱寬約為33.3米．

（2）由橢圓方程

     得 

     因為即ab≥99，且l＝2a，h＝b，

所以

當S取最小值時，有，得

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米，土方工程量最小．

[解二]由橢圓方程得

于是

即ab≥99，當S取最小值時，有

得以下同解一．

（21）[解]（1）設，則由即得

或     因為

所以  v－3>0，得  v＝8，故 

（2）由得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標準方程為：（x－3）²＋（y＋1）²＝10，

得圓心（3，－1），半徑為

設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x，y），則

得

故所求圓的方程為（x－1）²＋（y－3）²＝10．

（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則

得

即x₁、x₂為方程的兩個相異實根，

于是由得

故當時，拋物線y =ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩點．

（22）[解]（1）

（2）歸納概括的結論為：

若數列｛a_n｝是首項為a₁，公比為q的等比數列，則

，n為整數．

證明：

（3）因為

所以