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已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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一、A卷：AADCB  DCCCB  AA

二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③

三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)²=[sin(x+]²=[g(x)]²

   由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

   ∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1  ……………………………………………3分

   ∵-

   ∴x+=0,或x+=,或x+=

   x=-或x=0或x=

   所求x值的集合為{-,0,}      …………………………………………………7分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

   解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得

   2kπ+≤x≤2kπ+     …………………………………………………………9分

   ∵-≤x≤且x≠-,

   ∴≤x≤

   ∴函數的單調遞減區間為[，]     ………………………………………12分

18.解：所獲利潤為3000元時，所生產的產品一件為二等品，另一件不能達到一、二等品，所求概率為：P₁=2×0.2×0.05=0.02       ………………………………………6分

           所獲利潤不低于14000元，所生產的產品一件為一等品，一件為二等品，或兩件均為一等品，所求概率為：P₂=2×0.75×0.2+0.75²=0.8625    ……………………12分

19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內的射影

  又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD,即PD⊥AC

  在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

∴OD=AO?cot60°=1

  在Rt△POD中，PD=，由PE：ED=3：1，得

  DE=又∠PDO=60°，

∴OE²+DE²=OD²，∴∠OED=90°,即PD⊥OE

 PD⊥平面EAC     …………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，

∴cos∠AEC=cos²∠AEO-sin²∠AEO

=    ………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點，知點B到平面PDC的距離等于點O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=

  ∴OH=

  所以點B到平面PDC的距離為     ……………………………………………12分

解法二：建 立如圖所示的坐標系O-xyz，其中A(0，-，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).

(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-)

∵

∴

∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

∵

∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點知，點B到平面PDC的距離為點O到平面PDC距離的2倍

又，cos∠OED=cos<

所以點B到平面PDC的距離

d=2………………………………………………12分

20.解：(Ⅰ)依題意，設f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)

  當a>0時，則f(-4)=18,f(-2)=-18,∴

  解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分

  當a<0時，則f(2)=18,f(-4)=-

  解得a=-1,b=18

  ∴所求解析式為f(x)=x²-4x-14或f(x)=-x²+4x+14……………………………………6分

  (Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax²-4ax+4a+b

  f′(x)=2ax-4a

  ∵f′=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分

  ∴f(1)=1+b,f(3)=1+b即A(1，1+b),B(3,1+b)

   f′(3)=6a-4a=2

  設l₁、l₂的方程為：y-(1+b)=-2(x-1)

                                y-(1+b)=2(x-3)

  上式聯立解得y=b-1

  即C點的縱坐標為b-1

  ∴△ABC的AB邊上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2

  又|AB|=2

  ∴△ABC的面積S=|AB|?h=2……………………………………………………12分

21.解：(Ⅰ)在(n+1)a_n-n_an+1=2中，令n=1,得2a₁-a₂=2,∴a₂=2a₁-2=4再令n=2,得3a₂-2a₃=2,得a₃=a₂-1=5

 ∴a₂=4,a₃=5…………………………………………………………………………………3分

(Ⅱ)由(n+1)a_n-na_n+1=2,得

 ∴

當n≥2時，=

  ∴a_n=n+2

  n=1時，a₁=3也適合，∴a_n=n+2(n∩N*)…………………………………………8分

(Ⅲ)∵a_n+a_n+1=(n+2)+(n+3)=2n+5

∴(a₁+a₂)+(a₂+a₃)+…+(a_n+a_n+1)= …………………………12分

22.解：由已知，F()，雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1,±1),當l斜率k存在時，不失一般性，取A(，-1)、B(，1)、B(，1)，則在v上的投影的絕對值為，不合題意………………………………………………2分

  所以l的斜率k存在，其方程為y=k(x-).

  由得(k²-1)x²-2k²x+2k²+1=0(k²≠1)

 設A(x₁,k(x₁-))、B(x₂,k(x₂-)),則x₁+x₂=………………6分

當v=(1，1)時，設與v的夾角為θ，則=(x₂-x₁,k(x₂-x₁))在v上投影的絕對值

=

=.

由，得2k²-5k+2=0,k=2或k=.

       所以直線l的方程為y=±2(x-)或y=±.…………………12分