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設數列{a_n}的前n項的和為S_n，滿足
（Ⅰ）求首項a₁
（Ⅱ）令，求證{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）設，數列{c_n}的前n項的和為T_n，證明：T_n＜1．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

B

C

B

D

C

B

C

D

C

二、填空題

13.             14.            15.1<m<2              16.2x+6

三、解答題

17.(1)將正弦定量代入條件得：                         …………2分

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

   2sinAcosB+sin(B+C)=0

由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0                                                    …………4分

   又sinA>0,∴cosB=-,又0<B<π，∴B=                                   …………6分

(2)由余弦定理有：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac=(a+c)²-ac將b= ,a+c=4代入得ac=3

…………10分

 ∴S△ABC=                                  …………12分

18.(1)由S_n=(a_n+1)²,且a_n>0,得a₁=S₁=(a₁+1)²,解得a₁=1_n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(a_n+1)²-(a_n-1+1)²

(a_n-1)²-(a_n-1+1)²=0,       (a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0

∴a_n-a_n-1-2=0,  即a_n-a_n-1=2,   ∴{a_n}是公差為2的等數列

∴a_n=2n-1                                                                                          …………6分

(2)C_n=

T_n=

∴

∴T_n=1+1            …………12分

19.(1)20個數中有3的倍數6個，除以3余1的7個，余2的7個   …………2分

P₁=                                                          …………6分

(2)20個奇數有10個偶數有10個，其中5個是4的倍數。                 …………8分

∴P₂=1                                                                     …………12分

20.(1)連結A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連BP由E為C₁C的中點，A₁C₁∥CP，可證A₁E=EP，

∵D、E分別是A₁B、A₁P的中點，

∴DE∥BP

又BP面ABC，DE面ABC

∴DE∥平面ABC                                                                               …………4分

(2)∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，F為BC的中點

∴BC⊥AF

∵BB₁⊥平面ABC，∴B₁F⊥AF

∴∠B₁FB為二面角B₁-AF-B的平面角

在Rt△B₁BF中，∠B₁BF=90°，B₁B=a,BF=∴tan∠B₁FB=∴∠B₁FB=arctan                                                    …………8分

即二面β₁-AF-B的大小為arctan

(3)∵B₁F²=

∴B₁F²+EF²=B₁E²,∴B₁F⊥FE

由AF⊥BC，有AF⊥平面B₁BCC₁，即AF⊥平面B₁EF

∴V_F-B1AE=V_A-B1EF=                           …………12分

(注：用向量解法可參照給分)

21.證：(1)設f(x)上任意兩點，A(x₁,f(x₁)), B(x₂,f(x₂))不妨令x₁>x₂

∵∴f(x₁)-f(x₂)<x₁-x₂

即f(x₁)-x₁<f(x₂-x₂)令g(x)=f(x)-x=-x³+ax²-x+b

∵當x₁>x₂時g(x₁)<g(x₂)

∵g(x)單調遞減                                                                           ……………6分

(2)∴g(x)單調遞減∴g′(x)≤0恒成立

∴-3x²+2ax-1≤0恒成立

∴△=4a²-12≤0

∴-≤a≤                                                                          ……………12分

22.(1)∵=(x,y+2)  =(x,y-2)

||+||=8,∴=8

由橢圓定義知，M點軌跡是以(0，2)和(0，-2)為焦點的橢圓

∴                                                                                    ……………6分

(2)∵l的斜率一定存在，設l：y=kx+3

 (3k²+4)x²+18kx-21=0                                               ……………8分

設A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)

∵ ∴OAPB為平行四邊形

又∵

即OAPB為矩形  ∴   ∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0

∴-(1+k²)?

∴k²=∴k=±經檢驗k=±合題意.

∴存在直線l：y=±x+3                                                                …………14分