題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
已知函數
的反函數。定義：若對給定的實數
，函數
與
互為反函數，則稱滿足“
和性質”；若函數
與
互為反函數，則稱滿足“積性質”。
（1） 判斷函數
是否滿足“1和性質”，并說明理由； 
（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3） 設函數
對任何
，滿足“積性質”。求的表達式。
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分7分．
已知雙曲線
．
（1）求雙曲線
的漸近線方程；
（2）已知點
的坐標為
．設
是雙曲線上的點，
是點關于原點的對稱點．
記
．求
的取值范圍；
（3）已知點
的坐標分別為
，為雙曲線上在第一象限內的點．記
為經過原點與點的直線，
為
截直線所得線段的長．試將表示為直線的斜率
的函數．
（本題滿分16分）本題共有3個小題
，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分6分．
設
，常數
，定義運算“
”：
，定義運算“
”：
；對于兩點
、
，定義
.
(1)若
，求動點
的軌跡
；
(2)已知直線
與(1)中軌跡交于、兩點，若
，試求
的值；
(3)在(2)中條件下，若直線
不過原點且與
軸交于點S，與
軸交于點T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求
的取值范圍．
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知函數
的反函數.定義：若對給定的實數
，函數
與
互為反函數，則稱滿足“
和性質”；若函數
與
互為反函數，則稱滿足“積性質”.
（1） 判斷函數
是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3） 設函數
對任何
，滿足“積性質”.求的表達式.
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分。
已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F
，一條漸近線m:
，設過點A
的直線l的方向向量
。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點的直線
，且a與l的距離為
，求K的值；
（3）證明：當
時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。
一． 填空題（每題4分，共48分）
1. {0}; 2. 四; 3. 12; 4. 0; 5. 4; 6. 理
、文7; 7. 理
; 12.
(或
).
二．選擇題（每題4分，共16分）
13．D； 14．B； 15．C； 16．理B、文B．
三. 解答題. 17.（本題滿分12分）解：由已知得
(3分)
∴
, ∴
(6分)
∴
又
，即
,∴
(9分)
∴
的面積S=
．
(12分)
18.（本題滿分12分）解：∵
，∴
(5分)
∵
，欲使
是純虛數，
而=
(7分)
∴
， 即
(11分)
∴當
時，是純虛數.
(12分)
19.（本題滿分14分，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分）
解：（1）依題意設
，則
，
(2分)
(4分) 而
，
∴
，即
， (6分) ∴
(7分)
從而
.
(9分)
（2）
平面
，
∴直線
到平面的距離即點
到平面的距離
(2分)
也就是
的斜邊
上的高，為
.
(5分)
20.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）
解：（1）不正確.
(2分)
沒有考慮到
還可以小于
.
(3分)
正確解答如下：
令
，則
，
當
時，
，即
(5分)
當
時，
，即
(7分)
∴或，即
既無最大值，也無最小值.
(8分)
（2）（理）對于函數
，令
①當
時，有最小值，
，
(9分)
當
時，
，即
，當
時，即
∴或，即既無最大值，也無最小值.
(10分)
②當
時，有最小值，
，
此時，
，∴
，即，既無最大值，也無最小值 .(11分)
③當
時，有最小值，
，即
(12分)
∴
，即
，
∴當
時，有最大值
，沒有最小值.
(13分)
∴當
時，既無最大值，也無最小值。
當時，有最大值，此時；沒有最小值.
(14分)
（文）∵
， ∴
（12分）
∴函數
的最大值為
（當
時）而無最小值． （14分）
21.（本滿分16分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分8分）
解：（1）
（4分）
（2）由
解得
（7分）
所以第
個月更換刀具.
（8分）
（3）第
個月產生的利潤是：
（9分）
個月的總利潤：
（11分）
個月的平均利潤：
（13分）
由 
且
在第7個月更換刀具，可使這7個月的平均利潤
最大（13.21萬元） （14分）此時刀具厚度為
（mm）
（16分）
22.（本題滿分18分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分10分）
解：（1）
（4分）
（2）各點的橫坐標為：
(8分)
（3）過
作斜率為
的直線
交拋物線于另一點
，
(9分)
則一般性的結論可以是：
點
的相鄰橫坐標之和構成以
為首項和公比的等比數列（或：點
無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列；或：
無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列，等）(12分)
證明：設過點
作斜率為
的直線交拋物線于點
由
得
或
；
點的橫坐標為
，則
(14分)
于是
兩式相減得：
(16分)
=
故點無限逼近于點
同理無限逼近于點
（18分）
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