已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，（n≥2，n∈N^*），且．
（1）求a₂的值，并寫出a_n和a_n+1的關系式；
（2）求數列{a_n}的通項公式及S_n的表達式；
（3）我們可以證明：若數列{b_n}有上界（即存在常數A，使得b_n＜A對一切n∈N^*恒成立）且單調遞增；或數列{b_n}有下界（即存在常數B，使得b_n＞B對一切n∈N^*恒成立）且單調遞減，則存在．直接利用上述結論，證明：存在．