題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
：
（
），其焦距為
，若
（
），則稱橢圓為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓：（）中，
、
、
成等比數列．
（2）黃金橢圓：（）的右焦點為
，
為橢圓上的
任意一點．是否存在過點
、的直線
，使與
軸的交點
滿足
？若存在，求直線的斜率
；若不存在，請說明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓：（）的左、右焦點分別是
、，以
、
、
、
為頂點的菱形
的內切圓過焦點
、．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．
：
（
），其焦距為
，若
（
），則稱橢圓為“黃金橢圓”．：（）中，
、
、
成等比數列．：（）的右焦點為
，
為橢圓上的
、的直線
，使與
軸的交點
滿足
？若存在，求直線的斜率
；若不存在，請說明理由．：（）的左、右焦點分別是
、，以
、
、
、
為頂點的菱形
的內切圓過焦點
、．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知橢圓C：
(a＞b＞0)，其焦距為2c，若
(≈0.618)，則稱橢圓C為“黃金橢圓”．
(1)求證：在黃金橢圓C：
(a＞b＞0)中，a、b、c成等比數列．
(2)黃金橢圓C：
(a＞b＞0)的右焦點為F2(c，0)，P為橢圓C上的
任意一點．是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．
(3)在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：
(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1(－c，0)、F2(c，0)，以A(－a，0)、B(a，0)、D(0，－b)、E(0，b)為頂點的菱形ADBE的內切圓過焦點F1、F2．
試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．
（a＞b＞0），其焦距為2c，若
（≈0.618），則稱橢圓C為“黃金橢圓”．
（a＞b＞0）中，a、b、c成等比數列．
（a＞b＞0）的右焦點為F2（c，0），P為橢圓C上的任意一點．是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．
（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點的菱形ADBE的內切圓過焦點F1、F2．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
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單調遞減