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(17)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．

(18)已知．

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)設(shè)的輻角為，求的值．

(19)已知VC是所在平面的一條斜線(xiàn)，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在 的高CD上．之間的距離為．

(Ⅰ)證明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；

(Ⅱ)當(dāng)∠MDC=∠CVN時(shí)，證明VC；

(Ⅲ)若∠MDC=∠CVN=，求四面體MABC的體積．

(20)在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．記．

(Ⅰ)求數(shù)列和的通項(xiàng)；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

(21)某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠(chǎng)價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比例為，則出廠(chǎng)價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6．已知年利潤(rùn)=(出廠(chǎng)價(jià)–投入成本)年銷(xiāo)售量．

(Ⅰ)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；

(Ⅱ)為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(22)已知拋物線(xiàn)．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(，0)且斜率為1的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，．

(Ⅰ)求的取值范圍；

(Ⅱ)若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值．

普通高等學(xué)校春季招生考試

數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

(13)已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于_______________．

(14)橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_______________．

(15)已知、、均為銳角)，那么的最大值等于____________________．

(16)已知、是直線(xiàn)，、、是平面，給出下列命題：

①　　 若，則；

②若∥，，則∥；

③若不垂直于，則不可能垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)；

④若，∥，且，則∥∥．

其中正確的命題的序號(hào)是_______________(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)

(1)集體的子集個(gè)數(shù)是

　　　 (A)32　　　　　　　 (B)31　　　　　　　 (C)16　　　　　　　 (D)15

(2)函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有

　　　 (A)　　　　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

(3)

　　　 (A)0　　　　　　　　 (B)2　　　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(4)函數(shù)的反函數(shù)是

　　　 (A)　　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　　　　　　 (D)

(5)極坐標(biāo)系中，圓的圓心的坐標(biāo)是

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

(6)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以OP為直角邊、點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是

　　　 (A)圓　　　　　　　 (B)兩條平行直線(xiàn)　　　　　　 (C)拋物線(xiàn)　　　　 (D)雙曲線(xiàn)

(7)已知，那么等于

　　　 (A)　　　　　　　 (B)8　　　　　　　　 (C)18　　　　　　　 (D)

(8)若A、B是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)在

　　　 (A)第一象限　　　　　　 (B)第二象限　　　　　　 (C)第三象限　　　　　　 (D)第四象限

(9)如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線(xiàn)的夾角)是

　　　 (A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是

　　　 (A)18　　　　　　　 (B)6　　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

(11)右圖是正方體的平面展開(kāi)圖．在這個(gè)正方體中，

　 　　　 ①平行

　　　 ②CN與BE是異面直線(xiàn)

　　　 ③CN與BM成角

　　　 ④DM與BN垂直

　　　 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是

　　　 (A)①②③　　　　　　　 (B)②④

　　　 (C)③④　　　　　　　　　 (D)②③④

(12)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量(萬(wàn)件)近似地滿(mǎn)足

　　　 按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是

　　　 (A)5月、6月　　　　　 (B)6月、7月　　　　　 (C)7月、8月　　　　　 (D)8月、9月

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

　 已知是復(fù)數(shù)，均為實(shí)數(shù)(為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

　　 [解]

　　 已知是方程的兩個(gè)根中較小的根，求的值.

　　 [解]

　　　　　　　　　　　　　　 第2小題滿(mǎn)分8分.

　　 已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為.

　　 (1)證明：；

　　 (2)求底面中心到側(cè)面的距離.

　 　[證明](1)

　　 [解](2)

　　　　 　　　　　　　　　　第2小題滿(mǎn)分8分.

　　 某市2004年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房. 假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.

　　 (1)分別求2005年底和2006年底的住房面積　；

　　 (2)求2024年底的住房面積.(計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01)

　　 [解](1)

　　 (2)

　　　　　　　　　　　　　　 第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分7分.

已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且. 設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)和軸的垂線(xiàn)，垂足分別為.

　　 (1)求的值；

　　 (2)問(wèn)：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說(shuō)明理由；

　　 (3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

　　 [解](1)

　　 (2)

　　 (3)

　　　　　　　　　　　　　　 第2小題滿(mǎn)分8分. 第3小題滿(mǎn)分5分.

(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知橢圓的方程是. 設(shè)斜率為的直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為. 證明：當(dāng)直線(xiàn)平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在一條過(guò)原點(diǎn)的定直線(xiàn)上；

(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡(jiǎn)要寫(xiě)出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

　　 [解](1)

　　 [證明](2)

[解](3)

普通高等學(xué)校春季招生考試

16. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，有下列三個(gè)命題：

(1)若存在常數(shù)，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值；

(2)若存在，使得對(duì)任意，且，有，則是函數(shù)

　　 的最大值；

(3)若存在，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值.

　　 這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是　　　　　　

　　 (A)0個(gè).　　　　 (B)1個(gè).　　　　 (C)2個(gè).　　　 　　(D)3個(gè).

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　[答] (　　 )

15. 若是常數(shù)，則“”是“對(duì)任意，有”

　　 的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 (A)充分不必要條件.　　　　　　　 (B)必要不充分條件.

　　 (C)充要條件.　　　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要條件.

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] (　　 )

14. 在△中，若，則△是　　　　　　　 　　　　

　　 (A)­直角三角形.　　　　　　　　　 (B)等邊三角形.

　　 (C)鈍角三角形.　 　　　　　　　　(D)等腰直角三角形.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　[答] (　　 )

13. 已知直線(xiàn)及平面，下列命題中的假命題是　　　 　　　　　　　

　　 (A)若，，則.　 　　(B)若，，則.

　　 (C)若，，則.　　 (D)若，，則.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　[答] (　　 )

12. 已知函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是()，當(dāng)

　　 取得最小值時(shí)，　　　 .

四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的

代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得 4分，否則一律得零分.

11. 函數(shù)的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　 .