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(四)排列、組合的混合問題

排列、組合的混合問題，主要指既與組合有關，又與排列有關的應用問題.如分配問題.　

例6　 六本不同的書,按下列條件,各有多少種不同的分法?

(1) 分為三堆,每堆2本；

(2) 分為三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；

(3) 分給甲、乙、丙三人，每人2本；

(4) 分給甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；

(5) 分給甲、乙、丙三人，每人至少得1本.

評析　 本例屬分配問題，解這類問題的基本思路是先分組，再分配，即先組合、后排列．同時注意在分組時，若出現平均分組(即兩組元素個數相同)的情況，則要除以組數(即平均分組的數目)的階乘．

例6　 (1)分別從4所學校選拔6名報告員，每校至少1人，有多少種不同的選法？

(2) 將6名報告員分配到4所學校去做報告，每校至少1人，有多少種不同的分配方法？

評析 　兩小題看以類似，但第(1)小題的選取元素為學校；第(2)小題的選取元素為報告員，解題時要注意區分分組時，組合的對象--即元素是什么．

(三)排列應用題

例2 　4位學生與2位教師并坐合影留念．(1)教師必須坐在中間；(2)教師不能坐在兩端，但要坐在一起；(3)教師不能坐在兩端，且不能相鄰．各有多少種不同的坐法？(1)_{；(2)；(3)144}

評析　 (1) “在與不在”、“鄰與不鄰”是帶限制條件的排列應用題的兩種重要題型，處理這類問題的基本思路，有“直接”、“間接”之分．

(2) 對“在與不在”問題，優先考慮受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解題的基本策略；而處理“鄰與不鄰”問題，使用捆綁和插空法是十分有效的．

(3) 關于“元素和問題”的認識，是排列、組合概念中的一個重要問題，解題總是從元素或位置出發，要注意即使在同一問題中，把什么看作元素(或位置)并不是一成不變的．　

例3　 用0，1，2，3，4，5 六個數字，可以組成多少個沒有重復數字的：(1)首數是奇數的五位偶數？(2) 五位奇數？(3)五位偶數？

(二)加法原理與乘法原理

這是兩個基本原理，它們不僅是推導排列數公式、組合數公式的基礎，而且可以直接運用它們去解決某些問題．兩個原理的區別是前者與分類有關，與元素的順序有關；后者與分步有關，與元素的順序無關；．

例1　 (1)有紅、黃、白色旗子各n面(n＞3)，取其中一面、二面、三面組成縱列信號，可以有多少不同的信號？

(2) 有1元、5元、10元的鈔票各一張，取其中一張或幾張，能組成多少種不同的幣值？

　　 (1) 解　 因為縱列信號有上、下順序關系，所以是一個排列問題，信號分一面、二面、三面三種情況(三類)，各類之間是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3種信號；②升二面旗，要分兩步，連續完成每一步，信號方告完成，而每步又是獨立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重復使用，故共有3×3種信號；③升三面旗，有3×3×3種信號．所以共有39種信號．

(2) 解法　 計算幣值與順序無關，所以是一個組合問題，有取一張、二張、三張、四張四種情況，它們彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同幣值有 ＝15(種)

評析　 (1) 排列、組合的區別在于順序性，前者“有序”而后者“無序”；加法原理與乘法原理的區別在于聯斥性，前者“斥”--互斥獨立事件，后者“聯”--相依事件．因而有“順序”決“問題”，“聯斥”定“原理”的說法．

(2)加、乘原理是排列、組合問題的理論依據，在分析問題和指導解題中起著關鍵作用，運用加法原理的關鍵在于恰當地分類(分情況)，要使所分類別既不遺漏，也不重復；運用乘法原理的關鍵在于分步，要正確設計分步的程序，使每步之間既互相聯系，又彼此獨立．

(一)本來的主要內容結構

1. 掌握加法原理及乘法原理，并能運用這兩個原理分析和解決一些簡單的問題．　　 2. 理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的問題．　 3. 掌握二項式定理和二項式系數的性質，并能用它們計算和論證一些簡單問題．

17、如圖，是底面邊長為的正三棱錐，、、分別為棱、、上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等。(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)證明：為正四面體；

(2)若，求二面角的大小；(結果用反三角函數值表示)

(3)設棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺有相同的棱長和？若存在，請具體構造一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由。

16、如圖，將邊長為的正方形剪去圖中的陰影部分，沿圖中所畫虛線折成一個正三棱錐。這個正三棱錐側棱與底面所成角的余弦值是　　　　　　

15、在的二面角內，放一個半徑為的球切兩半平面于、兩點，那么這兩個切點在球面上最短距離是　　

14、已知球的表面積為，有兩個平行截面的面積分別為和，則這兩個平行截面間的距離是　　　

13、正四面體的側面與底面所成二面角的余弦值是