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16、解：(1)設P(x₀,y₀)(x₀>a,y₀>0)，又有點

A(－a,0),B(a,0).

…………………………(7分)

∴CD垂直于x軸.若CD過橢圓C₁的右焦點，則

故可使CD過橢圓C₁的右焦點，此時C₂的離心率為.…………(12分)

15、解：設初中x個班，高中y 個班，則……………(4分)

設年利潤為s，則……(6分)

作出(1)、(2)表示的平面區域，如圖，易知當直線1.2x+2y=s過點A時，s有最大值.

　 由解得A(18，12).……(10分)

(萬元).

即學校可規劃初中18個班，高中12個班，

可獲最大年利潤為45.6萬元.……(12分)

14、(1)解：作出橢圓的左準線l，作MN⊥l交l于點N.

　 設，橢圓的離心率是e，橢圓的半焦距是c.

根據橢圓的定義得：，所以

，同理可得：

所以

由||MF₁|·||MF₂|的最小值為得：

　 ，解得…………4分

[注：若學生沒有證明|MF₁|=

而直接使用此結論，則(Ⅰ)中扣去1分]

(Ⅱ)解：依題意得雙曲線C₂的離心率為2，

設C₂的方程是假設存在適合題意的常

數，①先來考查特殊情形下的值：

PA⊥x軸時，將x=2c代入雙曲線方程，解得|y|=3c，

因為|AF₁|=3c，所以△PAF₁是等腰直角三角形，

∠PAF₁=90°，∠PF₁A=45°，此時=2………7分

②以下證明當PA與x軸不垂直時，∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.

設，由于點P在第一象限內，所以直線PF₁斜率存在，；

因為PA與x軸不垂直，所以直線PA斜率也存在，.

因為所以，將其代入上式并化簡得：

因為∠PAF₁+∠PAx=180°，

所以即tan2∠PF₁A=tg∠PAF₁.………………12分

因為∠∠所以∠PAF₁、

2∠PF₁A所以∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.

綜合①、②得：存在常數，使得對位于雙曲線C₂在第一象限內的任意一點p，

∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.……………………14分

[注：②中如果學生認為∠PAF₁、2∠PF₁A本題不扣分]

13、(I)由題意，設()，由余弦定理, 得

　　　 ．

又·，當且僅當時，· 取最大值，

此時取最小值，令，解得，，∴，故所求的軌跡方程為.

(II)設，，則由，可得，

故，∵、在動點的軌跡上，故且，消去可得，解得，

又，∴，解得，故實數的取值范圍是．

11、當時，有，此時有不等式　　(＊)先證左不等式，去分母有理化

　　 　　得證. 再證右不等式，去分母有理化　 　　

綜合以上可知，不等式(＊)獲證.　 故存在常數滿足題意．

12、(Ⅰ)法一: ，

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法二：同上得

　 　 (Ⅱ)

20、已知函數

(1)設處取得極值，其中求證：；

(2)設點A(，求證：線段AB的中點C在曲線

19、解關于x的不等式

18、已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0.

(Ⅰ)求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率；

(Ⅱ)在第一象限內取雙曲線C₂上一點P，連結AP交橢圓C₁于點M，連結PB并延長交橢圓C₁于點N，若. 求證：

17、 　 如圖，過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓相交于A、B兩點，直線過線段AB的中點M，同時橢圓上存在一點與右焦點F關于直線l對稱，求直線l和橢圓的方程.