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已知數列{an}.{bn},其中an=1+3+5+-+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數n,使得an≤bn成立? 分析對n賦值后,比較幾對an與bn的大小,可作出合理猜測,再用數學歸納法予以證明. 解 an=1+3+5+-+(2n+1)=(n+1)2, 當n=5時,a5=36,b5=25+4=36,此時a5=b5; 當n=6時, a6=49,b6=26+4=68,此時a6<b6; 當n=7時,a7=64,b7=27+4=132,此時a7<b7; 當n=8時,a8=81,b8=28+4=260,此時a8<b8. 猜想:當n≥6時,有an<bn. 3分下面用數學歸納法證明上述猜想. ①當n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式an<bn成立; ②假設當n=k(k≥6)時,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;當n=k+1時.bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2, 而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2＞6), 即2k2+4k-2>(k+2)2=［(k+1)+1］2. 由不等式的傳遞性,知bk+1>［(k+1)+1］2=ak+1. ∴當n=k+1時,不等式也成立. 8分由①②可知,對一切n∈N,且n≥6,都有an<bn. 綜上所述,可知只有當n=5時,an=bn;當n≥6時,an＜bn.因此存在使an≤bn成立的自然數n. 10分【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分10分)

已知函數f(x)= m·log₂x + t的圖象經過點A（4，1）、點B（16，3）及點C（S_n，n），其中S_n為數列{a_n}的前n項和，n∈N^*.

（Ⅰ）求S_n和a_n；

（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為T_n , b_n = f(a_n) – 1, 求不等式T_n£ b_n的解集，n∈N^*.

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若數列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數）對任意n∈N^*都成立，則我們把數列{a_n}稱為“L型數列”．
（1）試問等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（公比為r）是否為L型數列？若是，寫出對應p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關于L型數列的問題，并加以解決．（本小題將根據所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

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（2009•黃浦區二模）若數列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數）對任意n∈N^*都成立，則我們把數列{a_n}稱為“L型數列”．
（1）試問等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（公比為r）是否為L型數列？若是，寫出對應p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關于L型數列的問題，并加以解決．（本小題將根據所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

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